Calcule as integrais a seguir.
integral0^pi / 4 sec ^4 theta tan ^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/4 sec^4theta,tan^4theta,dtheta
O conteúdo principal aqui é usar substituição trigonométrica (especificamente u=tantheta) para transformar em um polinômio, e depois integrar. A partir daqui, vamos precisar usar: a derivada d(tantheta)=sec^2theta,dtheta e a identidade sec^2theta=1+tan^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
u=tantheta, du=sec^2theta,dtheta
Então podemos escrever
sec^4theta,tan^4theta,dtheta =tan^4theta,sec^2thetacdotl(sec^2theta,dthetar) = u^4,(1+u^2),du
porque sec^2theta=1+tan^2theta=1+u^2. Os limites mudam de: theta=0mapsto u=0 e theta=pi/4mapsto u=1.

Passo 3

Agora integramos o polinômio:
integral0^1 u^4(1+u^2),du = integral0^1 l(u^4+u^6r),du = [u^55+u^77]0^1 = 15+17

Passo 4

Somando as frações:
15+17 = 7+535 = 1235

Resposta

1235

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