Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está ligado ao conteúdo de integração por frações parciais. Para resolver, vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. É uma técnica usada para decompor uma fração racional (ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios) em uma soma de frações mais simples. Isso facilita bastante a integração.
Passo 3
Nossa fração é
. Vamos supor que ela pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
,
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos escolher valores estratégicos para
que facilitem a resolução. Por exemplo:
-
Se
: -
Se
:
Passo 6
Para encontrar os demais coeficientes (
,
e
), podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados:
Expandindo e comparando os coeficientes, após cálculos (que detalharíamos completamente em uma aula), encontramos:
Passo 7
Agora que temos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a integral vale:
onde
é a constante de integração.