Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e também esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = \ln(x^{2} + y^{2}) $. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções logarítmicas e como elas se comportam no espaço.

Passo 2

Dominio: Primeiro, vamos descobrir onde essa função está “valendo” algo, ou onde ela está bem definida. A função logarítmica, $ \ln(z) $, só existe se o $ z $ for maior que zero. Então, temos que garantir que $ x^{2} + y^{2} > 0 $.
Isso significa que qualquer par $ (x, y) $ diferente de $ (0, 0) $ está no domínio. Em termos matemáticos, o domínio é todo o plano $ \mathbb{R}^{2} $ menos o ponto $ (0, 0) $.
ln(z) í

Passo 3

Imagem: Agora, vamos ver quais valores a função pode assumir, ou seja, sua imagem. Como $ x^{2} + y^{2} $ é sempre positivo (exceto no ponto que já excluímos), o argumento do logaritmo vai de $ 0 $ até o infinito.
O logaritmo de um número que vai de $ 0 $ a $ \infty $ cobre todo o conjunto dos números reais, desde $ -\infty $ até $ \infty $.
x^2 + y^2

Passo 4

Curvas de nível: As curvas de nível são os conjuntos de pontos $ (x, y) $ onde a função assume um valor constante $ c $. Então, temos:
(x, y)
Isso representa círculos com raio $ \sqrt{e^{c}} $. Cada valor de $ c $ gera um círculo diferente, já que $ e^{c} $ varia conforme $ c $.

Passo 5

Interseção com os planos coordenados:
  • Plano $ x = 0 $: Substituindo $ x = 0 $ na função, temos:
x = 0
Isso é válido para $ y \neq 0 $. O gráfico dessa interseção é uma função logarítmica em $ y $.
  • Plano $ y = 0 $: Similarmente,
x = 0
Também válido para $ x \neq 0 $, e o gráfico é uma função logarítmica em $ x $.

Passo 6

Esboço do gráfico: O gráfico de $ f(x, y) = \ln(x^{2} + y^{2}) $ é uma superfície que é sempre simétrica em relação aos eixos $ x $ e $ y $. Conforme você se afasta do ponto $ (0, 0) $, o valor da função aumenta. Perto do ponto $ (0, 0) $, a função tende a $ -\infty $. As curvas de nível são círculos concêntricos, e as interseções com os planos coordenados mostram que, ao fixar $ x $ ou $ y $, a função se comporta como uma logarítmica.

Resposta

O domínio é todo $ \mathbb{R}^{2} $ menos o ponto $ (0, 0) $, a imagem é $ \mathbb{R} $, as curvas de nível são círculos com equação $ x^{2} + y^{2} = e^{c} $, as interseções com os planos coordenados são funções logarítmicas, e o gráfico da função é uma superfície simétrica que aumenta conforme se afasta da origem.

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