Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral definida de
de
a
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas elevadas a potências ímpares. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com
e a potência de sine é ímpar, podemos separar uma
para facilitar a integração. Isso ajuda a aplicar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão.
Passo 3
Vamos reescrever
da seguinte forma:
Agora, usamos a identidade
para substituir
:
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 5
Substituindo na integral original:
Alterando os limites de integração conforme a substituição
:
- Quando
, - Quando
,
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral se torna:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.