Calcule as integrais a seguir.
integral0^pi sen^5(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral definida de sin^5(x) de 0 a pi. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas elevadas a potências ímpares. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com sin^5(x) e a potência de sine é ímpar, podemos separar uma sin(x) para facilitar a integração. Isso ajuda a aplicar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever sin^5(x) da seguinte forma:
sin^5(x) = sin^4(x) cdot sin(x) = (sin^2(x))^2 cdot sin(x)
Agora, usamos a identidade sin^2(x) = 1 - cos^2(x) para substituir sin^2(x):
sin^5(x) = (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x)

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx
Isso nos permite reescrever a integral em termos de u.

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral0^pi sin^5(x) , dx = integral0^pi (1 - u^2)^2 cdot (-du)
Alterando os limites de integração conforme a substituição u = cos(x):
  • Quando x = 0, u = cos(0) = 1
  • Quando x = pi, u = cos(pi) = -1
Assim, a integral fica:
integral1^-1 (1 - u^2)^2 cdot (-du) = integral-1^1 (1 - u^2)^2 , du

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral se torna:
integral-1^1 (1 - 2u^2 + u^4) , du = integral-1^1 1 , du - 2integral-1^1 u^2 , du + integral-1^1 u^4 , du
Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , du = [u]-1^1 = 1 - (-1) = 2
integral-1^1 u^2 , du = [u^33]-1^1 = (13 - (-13)) = 23
integral-1^1 u^4 , du = [u^55]-1^1 = (15 - (-15)) = 25
Substituindo de volta:
2 - 2 cdot 23 + 25 = 2 - 43 + 25 = 3015 - 2015 + 615 = 1615

Resposta

Portanto, o valor da integral integral0^pi sin^5(x) , dx é 1615.

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