Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = y^2 $, as curvas de nível, a interseção dessa função com os planos coordenados e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, curvas de nível e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = y^2 $, não tem nenhum denominador que possa ser zero, nem raiz quadrada de números negativos, ou logaritmo de números não positivos. Isso significa que a função está definida para todos os valores reais de f(x, y) = y^2 e x. Então, o domínio é y, ou seja, todo o plano R^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Como $ y^2 $ é sempre maior ou igual a zero para qualquer número real $ y $, a imagem será todos os números reais não negativos. Então, a imagem é y^2 .

Passo 4

Vamos falar sobre as curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos (x, y) onde a função tem um valor constante. Para $ f(x, y) = y^2 $, se fixarmos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante, temos $ y^2 = c $. Isso implica que $ y = \sqrt{c} $ ou $ y = -\sqrt{c} $. Portanto, para cada valor de $ c \geq 0 $, as curvas de nível são duas linhas horizontais: uma em $ y = \sqrt{c} $ e outra em $ y = -\sqrt{c} $.

Passo 5

Vamos ver a interseção da função com os planos coordenados:
  • Plano x = 0: Substituindo x = 0 na função, temos $ f(0, y) = y^2 $. Isso é simplesmente uma parábola no plano f(0, y) = y^2 .
  • Plano yz: Substituindo y = 0 na função, $ f(x, 0) = 0 $. Então, a interseção é a linha y = 0, que é o eixo f(x, 0) = 0 .
  • Plano z = 0: Aqui, estamos encontrando onde $ y^2 = 0 $, ou seja, $ y = 0 $. Assim, a interseção também é o eixo x.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = y^2 $. Essa é uma superfície parabólica que se abre na direção positiva do eixo f(x, y) = y^2 . Como o valor de z depende apenas de z, todas as seções paralelas ao plano y serão parábolas. A curva quando xz é fixo são linhas horizontais que se elevam conforme x aumenta ou diminui. O esboço mostra uma forma semelhante a um “cilindro” parabólico estendendo-se infinitamente ao longo do eixo y.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = y^2 $ é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $ e sua imagem é $ [0, +\infty) $. As curvas de nível são linhas horizontais em $ y = \sqrt{c} $ e $ y = -\sqrt{c} $ para cada $ c \geq 0 $. As interseções com os planos coordenados são: no plano f(x, y) = y^2 , uma parábola; no plano R^2 , o eixo [0, +infty) ; e no plano y = raizc , também o eixo y = -raizc . O gráfico da função é uma superfície parabólica que se abre na direção positiva do eixo c >= 0 , estendendo-se infinitamente ao longo do eixo x = 0.

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