Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = y^2 $, as curvas de nível, a interseção dessa função com os planos coordenados e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, curvas de nível e interseções com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = y^2 $, não tem nenhum denominador que possa ser zero, nem raiz quadrada de números negativos, ou logaritmo de números não positivos. Isso significa que a função está definida para todos os valores reais de
e
. Então, o domínio é
, ou seja, todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Como $ y^2 $ é sempre maior ou igual a zero para qualquer número real $ y $, a imagem será todos os números reais não negativos. Então, a imagem é
.
Passo 4
Vamos falar sobre as curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função tem um valor constante. Para $ f(x, y) = y^2 $, se fixarmos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante, temos $ y^2 = c $. Isso implica que $ y = \sqrt{c} $ ou $ y = -\sqrt{c} $. Portanto, para cada valor de $ c \geq 0 $, as curvas de nível são duas linhas horizontais: uma em $ y = \sqrt{c} $ e outra em $ y = -\sqrt{c} $.
Passo 5
Vamos ver a interseção da função com os planos coordenados:
-
Plano
: Substituindo na função, temos $ f(0, y) = y^2 $. Isso é simplesmente uma parábola no plano . -
Plano
: Substituindo na função, $ f(x, 0) = 0 $. Então, a interseção é a linha , que é o eixo . -
Plano
: Aqui, estamos encontrando onde $ y^2 = 0 $, ou seja, $ y = 0 $. Assim, a interseção também é o eixo .
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = y^2 $. Essa é uma superfície parabólica que se abre na direção positiva do eixo
. Como o valor de
depende apenas de
, todas as seções paralelas ao plano
serão parábolas. A curva quando
é fixo são linhas horizontais que se elevam conforme
aumenta ou diminui. O esboço mostra uma forma semelhante a um “cilindro” parabólico estendendo-se infinitamente ao longo do eixo
.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = y^2 $ é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $ e sua imagem é $ [0, +\infty) $. As curvas de nível são linhas horizontais em $ y = \sqrt{c} $ e $ y = -\sqrt{c} $ para cada $ c \geq 0 $. As interseções com os planos coordenados são: no plano
, uma parábola; no plano
, o eixo
; e no plano
, também o eixo
. O gráfico da função é uma superfície parabólica que se abre na direção positiva do eixo
, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo
.