Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular a integral
. A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta da matéria de Cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para resolver tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Para isso, vamos usar a integração por partes, que segue a fórmula:
Escolhemos:
-
(porque é fácil de derivar) -
Agora, calculamos
e
:
-
(derivando ) -
(integrando )
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar integração por partes de novo.
Escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 5
Voltando à integral anterior:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral que havíamos separado inicialmente:
Resposta
Juntando as duas partes que calculamos:
Podemos simplificar unindo os termos semelhantes:
Onde
é a constante de integração.