Calcule as integrais a seguir.
integral e^-x(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral . A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta da matéria de Cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para resolver tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral e^-xx^2 dx + integral e^-x dx
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral u, dv = uv - integral v, du . Para isso, vamos usar a integração por partes, que segue a fórmula:
integral e^-xx^2 dx = -x^2 e^-x + 2 integral x e^-x dx
Escolhemos:
  • (porque é fácil de derivar)
Agora, calculamos e :
  • (derivando )
  • (integrando )
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x . Vamos aplicar integração por partes de novo.
Escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 5

Voltando à integral anterior:
integral e^-xx^2 dx = -x^2 e^-x + 2(-x e^-x - e^-x) = (-x^2 - 2x - 2) e^-x

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral que havíamos separado inicialmente:
integral e^-x dx = -e^-x

Resposta

Juntando as duas partes que calculamos:
integral e^-x(x^2+1) dx = (-x^2 - 2x - 2) e^-x - e^-x + C
Podemos simplificar unindo os termos semelhantes:
integral e^-x(x^2+1) dx = (-x^2 - 2x - 3) e^-x + C
Onde é a constante de integração.

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