Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=e^x y^5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x y^5}. O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) aplicada à exponencial, e vamos precisar tratar uma variável como constante ao derivar em relação à outra.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, fixamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia à função f(x,y)=e^u(x), onde u(x)=x y^5. Temos
u(x)=x y^5 Rightarrow u'(x)=y^5

Passo 3

A derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente, logo
partial fpartial x=e^u(x)cdot u'(x)=e^x y^5cdot y^5=y^5 e^x y^5

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, fixamos x como constante e repetimos a regra da cadeia com u(y)=x y^5. Então
u(y)=x y^5 Rightarrow u'(y)=xcdot 5y^4=5x y^4

Passo 5

Aplicando à exponencial, obtemos
partial fpartial y=e^u(y)cdot u'(y)=e^x y^5cdot (5x y^4)=5x y^4 e^x y^5

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x=y^5 e^x y^5, partial fpartial y=5x y^4 e^x y^5

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