Calcule as integrais a seguir.
integral x^2-2 x-1(x-1)^2(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e integração de cada termo. Vamos precisar usar teoria de frações parciais, identificar a forma geral da decomposição, determinar constantes por comparação de coeficientes e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Para decompor x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1), usamos a forma geral
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1)=Ax-1+B(x-1)^2+Cx+Dx^2+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1) e obtemos
x^2-2x-1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2
Expandindo e coletando coeficientes de potências de x, igualamos aos coeficientes de x^2-2x-1.

Passo 4

Do balanceamento de coeficientes surge o sistema:
A + C = 0, - A + B - 2C + D = 1, A + C - 2D = -2, - A + B + D = -1
Resolvendo, encontramos A=1, B=-1, C=-1, D=1.

Passo 5

Substituindo de volta, a decomposição final é
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 - 1(x-1)^2 + -x+1x^2+1

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
  1. integral 1x-1dx = ln|x-1| + C1.
  2. integral l(-1(x-1)^2r)dx = 1x-1 + C2.
  3. integral -xx^2+1dx = -tfrac12ln(x^2+1) + C3.
  4. integral 1x^2+1dx = arctan x + C4.

Passo 7

Somando todas as parcelas e agrupando constantes de integração em C, obtemos a resposta final.

Resposta

ln|x-1| - tfrac12ln(x^2+1) + tfrac1x-1 + arctan x + C

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