uma chapa de aço retangular é posicionada num sistema cartesiano. A temperatura nos pontos da chapa é dada por
. Esboce o gráfico da função temperatura e determine suas isotermas (curvas onde a temperatura é constante)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma chapa de aço retangular posicionada num sistema de coordenadas cartesianas, e a temperatura em cada ponto dessa chapa é dada pela função $ \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{y}^{2} $. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa função de temperatura e descobrir as isotermas, que são as curvas onde a temperatura permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o gráfico de uma função de duas variáveis e o que são essas tal isotermas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gráfico da função de temperatura $ \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{y}^{2} $. Como essa função depende apenas de $ \mathrm{y} $, isso significa que para cada valor de $ \mathrm{y} $, a temperatura é $ \mathrm{y} $ ao quadrado, independente de $ \mathrm{x} $. Então, se quisermos esboçar o gráfico, podemos imaginar que ele se estende infinitamente ao longo do eixo $ \mathrm{x} $, mas varia no eixo $ \mathrm{y} $ de acordo com $ \mathrm{y}^{2} $.
Passo 3
Para visualizar melhor, pense que para cada valor de $ \mathrm{y} $, a temperatura forma uma “faixa” paralela ao eixo $ \mathrm{x} $. Por exemplo:
- Quando $ \mathrm{y} = 0 $, $ \mathrm{T} = 0 $.
- Quando $ \mathrm{y} = 1 $ ou $ \mathrm{y} = -1 $, $ \mathrm{T} = 1 $.
- Quando $ \mathrm{y} = 2 $ ou $ \mathrm{y} = -2 $, $ \mathrm{T} = 4 $.
E assim por diante. Então, o gráfico será uma série de linhas horizontais onde a temperatura aumenta à medida que nos afastamos do eixo $ \mathrm{x} $.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as isotermas. Isotermas são simplesmente as curvas onde a temperatura é constante. Matemáticamente, isso significa que queremos encontrar todas as soluções para a equação $ \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{c} $, onde $ \mathrm{c} $ é uma constante qualquer.
Passo 5
Substituindo a função de temperatura na equação das isotermas, temos:
Para resolver isso em relação a $ \mathrm{y} $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos mostra que para cada valor constante de temperatura $ \mathrm{c} $, as isotermas são duas linhas horizontais: uma acima do eixo $ \mathrm{x} $ em $ \mathrm{y} = \sqrt{\mathrm{c}} $ e outra abaixo em $ \mathrm{y} = -\sqrt{\mathrm{c}} $.
Resposta
Então, resumindo:
- O gráfico da função de temperatura $ \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{y}^{2} $ consiste em linhas horizontais paralelas ao eixo $ \mathrm{x} $, onde a temperatura aumenta conforme nos movemos para cima ou para baixo no eixo $ \mathrm{y} $.
- As isotermas são as linhas $ \mathrm{y} = \sqrt{\mathrm{c}} $ e $ \mathrm{y} = -\sqrt{\mathrm{c}} $, onde $ \mathrm{c} $ é uma constante de temperatura. Isso significa que, para cada temperatura constante, temos duas linhas horizontais correspondentes acima e abaixo do eixo $ \mathrm{x} $.