Calcule as integrais a seguir.
integral x^2x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x^2x+1 , dx. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de Divisão de Polinômios para simplificar integrais que envolvem frações algébricas. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo do denominador e depois integrar os termos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão de x^2 por x + 1. Isso ajuda a simplificar a integral. Pense assim: queremos encontrar quanto de x + 1 cabe em x^2.
x^2x + 1 = x - 1 + 1x + 1
Isso significa que:
x^2x + 1 = x - 1 + 1x + 1
Agora, a integral fica mais simples:
integral x^2x + 1 , dx = integral ( x - 1 + 1x + 1 ) dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrar x:
    integral x , dx = x^22
    Aqui, usamos a regra básica de integração de potências: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C.
  2. Integrar -1:
    integral (-1) , dx = -x
    A integral de uma constante é a constante multiplicada por x.
  3. Integrar 1x + 1:
    integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1|
    Aqui, usamos a integral de 1u que é ln|u| + C, onde u = x + 1.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x^2x + 1 , dx = x^22 - x + ln|x + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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