Suponha que a, r são números positivos. Determine o que acontece com as seguintes sequências quando n infty.
(d) bn=n!n^n

Passo 1

A sequência é dada por bn = n!n^n e queremos saber o comportamento de bn quando n to infty. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para sequências, que diz que se an to 0, então .

Passo 2

Vamos calcular o quociente entre termos consecutivos:
bn+1bn = (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n = (n+1)!,n^n(n+1)^n+1,n! = n^n(n+1)^n = l(nn+1r)^n = l(1 - 1n+1r)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite desse quociente:
limntoinftyl(1 - 1n+1r)^n = e^-1 < 1
Isso mostra que a razão entre termos tende a 1/e, que é menor que 1.

Passo 4

Pelo teste da razão, como o limite do quociente é menor que 1, a sequência bn converge para zero quando ntoinfty.

Resposta

limntoinfty bn = 0

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