Calcule as integrais a seguir.
integral x^2+x+1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado da questão é calcular a integral integral x^2+x+1(x^2+1)^2,dx. Isso envolve técnicas de integração de funções racionais, em particular decomposição do integrando e uso de substituição para simplificar uma das parcelas.

Passo 2

Para simplificar, podemos escrever
[\frac{x{2}+x+1}{(x{2}+1){2}}=\frac{x{2}+1}{(x{2}+1){2}}+\frac{x}{(x{2}+1){2}}=\frac{1}{x{2}+1}+\frac{x}{(x{2}+1)^{2}},]
dividindo a integral original em duas parcelas mais simples:
[\int \frac{1}{x^{2}+1},dx+\int \frac{x}{(x{2}+1){2}},dx,.,]

Passo 3

A primeira integral é direta:
[\int \frac{1}{x^{2}+1},dx=\arctan x,.,]

Passo 4

Para a segunda, use a substituição u=x^2+1, de modo que du=2x,dx ou x,dx=du/2. Assim:
[\int \frac{x}{(x{2}+1){2}},dx=\frac{1}{2}\int u{-2},du=\frac{1}{2}\bigl(-u{-1}\bigr)=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(x^{2}+1)},.,]

Passo 5

Juntando as duas partes e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado final.

Resposta

arctan x-12(x^2+1)+C

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