Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
O enunciado da questão é calcular a integral
. Isso envolve técnicas de integração de funções racionais, em particular decomposição do integrando e uso de substituição para simplificar uma das parcelas.
Passo 2
Para simplificar, podemos escrever
[\frac{x{2}+x+1}{(x{2}+1){2}}=\frac{x{2}+1}{(x{2}+1){2}}+\frac{x}{(x{2}+1){2}}=\frac{1}{x{2}+1}+\frac{x}{(x{2}+1)^{2}},]
dividindo a integral original em duas parcelas mais simples:
[\int \frac{1}{x^{2}+1},dx+\int \frac{x}{(x{2}+1){2}},dx,.,]
dividindo a integral original em duas parcelas mais simples:
[\int \frac{1}{x^{2}+1},dx+\int \frac{x}{(x{2}+1){2}},dx,.,]
Passo 3
A primeira integral é direta:
[\int \frac{1}{x^{2}+1},dx=\arctan x,.,]
Passo 4
Para a segunda, use a substituição
, de modo que
ou
. Assim:
[\int \frac{x}{(x{2}+1){2}},dx=\frac{1}{2}\int u{-2},du=\frac{1}{2}\bigl(-u{-1}\bigr)=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(x^{2}+1)},.,]
Passo 5
Juntando as duas partes e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado final.