Ache a área da região limitada pelas curvas.
y=cos x, y=sec ^2 x, x in[-pi / 4, pi / 4].

Passo 1

No enunciado, a gente quer achar a área da região limitada pelas curvas y=cos x, y=sec^2 x e pelas retas verticais x=-pi/4 e x=pi/4. O conteúdo principal aqui é cálculo de área entre curvas usando integração definida.

Passo 2

Para encontrar onde as duas curvas se cruzam, igualamos cos x = sec^2 x. Como sec^2 x=1/cos^2 x, temos
cos x = 1cos^2 x Rightarrow cos^3 x = 1 Rightarrow cos x = 1
Na faixa [-pi/4,,pi/4], a única solução é x=0.

Passo 3

Agora precisamos ver qual curva está acima e qual está abaixo nesse intervalo. Por exemplo, em x=pi/6:
cos(pi/6)=raiz2/2approx0,866 e sec^2(pi/6)=1/cos^2(pi/6)=1/(raiz2/2)^2=2.
Logo, sec^2 x>cos x em todo o intervalo (exceto em x=0, onde se tocam).

Passo 4

Então a área é dada por
A=integral-pi/4^pi/4l(sec^2 x - cos xr),dx

Passo 5

As primitivas que vamos usar são
integral sec^2 x,dx=tan x, integral cos x,dx=sin x

Passo 6

Substituindo os limites:
A=l[tan x - sin xr]-pi/4^pi/4 =l(1-tfracraiz22r)-l(-1+tfracraiz22r) =2-raiz2

Resposta

A área da região é 2 - raiz2.

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