Determine as superfícies de nível da função w=x^2+y^2+z^2 e dê exemplos de três pontos pertencentes ao gráfico de w.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ e precisa identificar as superfícies de nível dessa função. Além disso, vamos dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de superfícies de nível e como elas se relacionam com funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Em matemática, uma superfície de nível de uma função de três variáveis como $ w = f(x, y, z) $ é o conjunto de todos os pontos w = f(x, y, z) que fazem com que a função assuma um valor constante $ C $. Em outras palavras, é onde $ w = C $.
No nosso caso, a função é $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Então, a superfície de nível será definida por:
(x, y, z)

Passo 3

Vamos analisar a equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = C $. Essa é a equação de uma esfera no espaço tridimensional. Aqui, $ C $ representa o raio ao quadrado da esfera. Ou seja, para cada valor positivo de $ C $, temos uma esfera com raio $ \sqrt{C} $ centrada na origem x^2 + y^2 + z^2 = C .
Por exemplo:
  • Se $ C = 1 $, a esfera tem raio 1.
  • Se $ C = 4 $, a esfera tem raio 2.
  • E assim por diante.
Portanto, as superfícies de nível da função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ são esferas centradas na origem com raios variados dependendo do valor de $ C $.

Passo 4

Agora, vamos dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico dessa função. Queremos pontos (x, y, z) que satisfaçam a equação $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $.
Vamos escolher três valores diferentes para $ w $ e encontrar pontos correspondentes:
  1. Ponto 1:
    • Escolha $ x = 1 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $.
    • Calculando $ w $: $ w = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 1 $.
    • Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $.
  2. Ponto 2:
    • Escolha $ x = 0 $, $ y = 2 $, $ z = 0 $.
    • Calculando $ w $: $ w = 0^{2} + 2^{2} + 0^{2} = 4 $.
    • Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $.
  3. Ponto 3:
    • Escolha $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = -3 $.
    • Calculando $ w $: $ w = 0^{2} + 0^{2} + (-3)^{2} = 9 $.
    • Então, o ponto é $ (0, 0, -3) $.

Resposta

As superfícies de nível da função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ são esferas centradas na origem com diferentes raios, conforme o valor de $ C $. Três exemplos de pontos pertencentes ao gráfico de $ w $ são:
  1. $ (1, 0, 0) $
  2. $ (0, 2, 0) $
  3. $ (0, 0, -3) $

Exercícios relacionados