Determine as superfícies de nível da função
e dê exemplos de três pontos pertencentes ao gráfico de w.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ e precisa identificar as superfícies de nível dessa função. Além disso, vamos dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de superfícies de nível e como elas se relacionam com funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Em matemática, uma superfície de nível de uma função de três variáveis como $ w = f(x, y, z) $ é o conjunto de todos os pontos
que fazem com que a função assuma um valor constante $ C $. Em outras palavras, é onde $ w = C $.
No nosso caso, a função é $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Então, a superfície de nível será definida por:
Passo 3
Vamos analisar a equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = C $. Essa é a equação de uma esfera no espaço tridimensional. Aqui, $ C $ representa o raio ao quadrado da esfera. Ou seja, para cada valor positivo de $ C $, temos uma esfera com raio $ \sqrt{C} $ centrada na origem
.
Por exemplo:
- Se $ C = 1 $, a esfera tem raio 1.
- Se $ C = 4 $, a esfera tem raio 2.
- E assim por diante.
Portanto, as superfícies de nível da função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ são esferas centradas na origem com raios variados dependendo do valor de $ C $.
Passo 4
Agora, vamos dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico dessa função. Queremos pontos
que satisfaçam a equação $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $.
Vamos escolher três valores diferentes para $ w $ e encontrar pontos correspondentes:
-
Ponto 1:
- Escolha $ x = 1 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $.
- Calculando $ w $: $ w = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 1 $.
- Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $.
-
Ponto 2:
- Escolha $ x = 0 $, $ y = 2 $, $ z = 0 $.
- Calculando $ w $: $ w = 0^{2} + 2^{2} + 0^{2} = 4 $.
- Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $.
-
Ponto 3:
- Escolha $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = -3 $.
- Calculando $ w $: $ w = 0^{2} + 0^{2} + (-3)^{2} = 9 $.
- Então, o ponto é $ (0, 0, -3) $.
Resposta
As superfícies de nível da função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ são esferas centradas na origem com diferentes raios, conforme o valor de $ C $. Três exemplos de pontos pertencentes ao gráfico de $ w $ são:
- $ (1, 0, 0) $
- $ (0, 2, 0) $
- $ (0, 0, -3) $