Desenhe a região limitada pelas curvas. Represente a área da região por uma ou mais integrais (a) em termos de x; (b) em termos de y.
y=x^13, y=x^2+x-1.

Passo 1

A gente quer desenhar a região limitada pelas curvas y = x^1/3 e y = x^2 + x - 1 e escrever sua área usando integrais. Vamos precisar achar onde elas se cruzam, decidir qual fica em cima/embaixo (ou à direita/à esquerda) e depois montar as integrais.

Passo 2

Igualamos x^1/3 = x^2 + x - 1. Testando valores inteiros vemos que x=-1 e x=1 são soluções. São os pontos de interseção da região.

Passo 3

Para x variando de -1 a 1, comparamos y1 = x^1/3 e y2 = x^2 + x - 1. Em qualquer x interno y1 > y2, então a área é integral (y1 - y2),dx.

Passo 4

Invertendo para usar y como variável: da curva cúbica y = x^1/3 vem x = y^3. Da parábola y = x^2 + x - 1 temos x^2 + x - (1+y)=0, cuja raiz menor (que é a borda esquerda) é x = -1 - raiz4y+52.

Passo 5

Para y entre -1 e 1, o lado esquerdo da região é xL = -1 - raiz4y+52 e o direito é xR = y^3. A área é integral (xR - xL),dy.

Resposta

(a) Em função de x:
A = integral-1^1 l(x^1/3 - (x^2 + x - 1)r),dx
(b) Em função de y:
A = integral-1^1 l(y^3 - -1 - raiz4y+52r),dy

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