Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede pra calcular a integral de uma função que é a soma de $ x^{2} \ln(x) $ e $ \cos^{3}(x) $. Vamos precisar usar técnicas de integração como a integração por partes para a primeira parte e identidades trigonométricas para a segunda parte. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Vamos começar dividindo a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Primeiro, vamos calcular $ \int x^{2} \ln(x) , dx $ usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos $ u = \ln(x) $ e $ dv = x^{2} dx $. Então, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
Agora aplicamos a fórmula:
Simplificando a segunda integral:
Integrando $ x^{2} $:
Passo 4
Agora, vamos resolver $ \int \cos^{3}(x) , dx $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição: seja $ u = \sin(x) $, então $ du = \cos(x) dx $. A integral vira:
Voltando para $ x $:
Resposta
Juntando tudo, a integral é: