Calcule as integrais a seguir.
integral[x^2 ln (x)+cos ^3(x)] d x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede pra calcular a integral de uma função que é a soma de $ x^{2} \ln(x) $ e $ \cos^{3}(x) $. Vamos precisar usar técnicas de integração como a integração por partes para a primeira parte e identidades trigonométricas para a segunda parte. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Vamos começar dividindo a integral em duas partes para facilitar:
integral [ x^2 ln(x) + cos^3(x) ] dx = integral x^2 ln(x) , dx + integral cos^3(x) , dx

Passo 3

Primeiro, vamos calcular $ \int x^{2} \ln(x) , dx $ usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral x^2 ln(x) , dx
Escolhemos $ u = \ln(x) $ e $ dv = x^{2} dx $. Então, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora aplicamos a fórmula:
u = ln(x)
Simplificando a segunda integral:
dv = x^2 dx
Integrando $ x^{2} $:
du

Passo 4

Agora, vamos resolver $ \int \cos^{3}(x) , dx $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão. Sabemos que:
integral cos^3(x) , dx
Então, a integral fica:
cos^3(x) = cos(x) cdot cos^2(x) = cos(x) cdot (1 - sin^2(x))
Vamos fazer uma substituição: seja $ u = \sin(x) $, então $ du = \cos(x) dx $. A integral vira:
integral cos^3(x) , dx = integral cos(x) (1 - sin^2(x)) , dx
Voltando para $ x $:
u = sin(x)

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral [ x^2 ln(x) + cos^3(x) ] dx = x^3 ln(x)3 - x^39 + sin(x) - sin^3(x)3 + C

Exercícios relacionados