Calcule as integrais a seguir.
integral 1(x+4)(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de uma função racional que é assim:
integral 1(x+4)(x-1) , dx
Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções que são divisões de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração 1(x+4)(x-1) em duas frações mais simples. A ideia é encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
A

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por A para eliminar os denominadores:
B

Passo 4

Para descobrir $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ x $ que simplificam a equação:
  1. Quando $ x = 1 $:
    A
  2. Quando $ x = -4 $:
    B

Passo 5

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações:
A
Isso simplifica para:
B

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x+4)(x-1) , dx = -15 integral 1x+4 , dx + 15 integral 1x-1 , dx
Integrando cada parte, temos:
-15 ln|x+4| + 15 ln|x-1| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral 1(x+4)(x-1) , dx = 15 ln|x-1x+4| + C

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