Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de uma função racional que é assim:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções que são divisões de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em duas frações mais simples. A ideia é encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para descobrir $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ x $ que simplificam a equação:
-
Quando $ x = 1 $:
-
Quando $ x = -4 $:
Passo 5
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a integral é: