Calcule as integrais a seguir.
integral[510 e^x sen(x)+cos (5 x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral[510 e^x sin(x) + cos (5 x)] dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma soma de funções que envolvem exponenciais, funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos separar a integral em partes menores e resolver cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que 510 pode ser simplificado para 12. Assim, a integral fica:
integral [12 e^x sin(x) + cos(5x)] dx

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 12 e^x sin(x) , dx + integral cos(5x) , dx
Começando pela primeira parte: integral 12 e^x sin(x) , dx.
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e^x e sin(x). A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos definir:
u = e^x Rightarrow du = e^x dx
dv = sin(x) dx Rightarrow v = -cos(x)
Aplicando a fórmula:
integral e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) dx
Agora, precisamos resolver integral e^x cos(x) dx, que novamente requer integração por partes. Definimos:
u = e^x Rightarrow du = e^x dx
dv = cos(x) dx Rightarrow v = sin(x)
Aplicando a fórmula novamente:
integral e^x cos(x) dx = e^x sin(x) - integral e^x sin(x) dx
Agora, temos:
integral e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x) - integral e^x sin(x) dx
Somando integral e^x sin(x) dx de ambos os lados:
2 integral e^x sin(x) dx = e^x (sin(x) - cos(x))
Portanto:
integral e^x sin(x) dx = e^x2 (sin(x) - cos(x))
Voltando à nossa integral original:
integral 12 e^x sin(x) dx = 12 cdot e^x2 (sin(x) - cos(x)) = e^x4 (sin(x) - cos(x))

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral: integral cos(5x) dx.
Para integrar cos(5x), usamos a regra básica de integração para funções trigonométricas:
integral cos(kx) dx = 1k sin(kx) + C
Onde k é uma constante. No nosso caso, k = 5:
integral cos(5x) dx = 15 sin(5x) + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
e^x4 (sin(x) - cos(x)) + 15 sin(5x) + C

Resposta

A integral é igual a:
e^x4 [sin(x) - cos(x)] + 15 sin(5x) + C

Exercícios relacionados