Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma soma de funções que envolvem exponenciais, funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos separar a integral em partes menores e resolver cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que
pode ser simplificado para
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Começando pela primeira parte:
.
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como
e
. A fórmula da integração por partes é:
Vamos definir:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver
, que novamente requer integração por partes. Definimos:
Aplicando a fórmula novamente:
Agora, temos:
Somando
de ambos os lados:
Portanto:
Voltando à nossa integral original:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
.
Para integrar
, usamos a regra básica de integração para funções trigonométricas:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Resposta
A integral é igual a: