Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de $ \int_{0}^{1} \frac{x-1}{x^{2}+3x+2} , dx $. O que isso quer dizer é que precisamos encontrar a área sob a curva da função $ \frac{x-1}{x^{2}+3x+2} $ entre os pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de frações parciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração $ x^{2} + 3x + 2 $. Para facilitar a integração, é bom fatorar esse polinômio. Vamos ver se conseguimos escrever ele como um produto de dois binômios.
$ x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) $
Isso porque $ (x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 $.
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos reescrever a fração original usando essas fatorações:
$ \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} $
Para integrar essa expressão, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa expressar $ \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} $ como a soma de duas frações mais simples:
$ \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} $
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (x + 1)(x + 2) $:
$ x - 1 = A(x + 2) + B(x + 1) $
Agora, vamos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe $ x = -2 $:
$ -2 - 1 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) $
$ -3 = 0 + B(-1) $
Portanto, $ B = 3 $.
Agora, deixe $ x = -1 $:
$ -1 - 1 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) $
$ -2 = A(1) + 0 $
Então, $ A = -2 $.
Passo 5
Agora que temos $ A = -2 $ e $ B = 3 $, podemos reescrever a fração original:
$ \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{-2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} $
Agora, a integral fica:
$ \int_{0}^{1} \left( \frac{-2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} \right) dx $
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ \frac{1}{x + a} $ é $ \ln|x + a| $. Então:
$ \int \frac{-2}{x + 1} dx = -2 \ln|x + 1| + C $
$ \int \frac{3}{x + 2} dx = 3 \ln|x + 2| + C $
Juntando os dois:
$ -2 \ln|x + 1| + 3 \ln|x + 2| $
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
$ \left[ -2 \ln(x + 1) + 3 \ln(x + 2) \right]_{0}^{1} $
Primeiro, avaliamos em $ x = 1 $:
$ -2 \ln(1 + 1) + 3 \ln(1 + 2) = -2 \ln(2) + 3 \ln(3) $
Depois, avaliamos em $ x = 0 $:
$ -2 \ln(0 + 1) + 3 \ln(0 + 2) = -2 \ln(1) + 3 \ln(2) $
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Diferença = $ [-2 \ln(2) + 3 \ln(3)] - [0 + 3 \ln(2)] = -2 \ln(2) + 3 \ln(3) - 3 \ln(2) = -5 \ln(2) + 3 \ln(3) $
Resposta
A integral $ \int_{0}^{1} \frac{x-1}{x^{2}+3x+2} , dx $ vale $ -5 \ln(2) + 3 \ln(3) $.