Encontre as derivadas parciais de f(x, y)=x sen y+x^3 y^6+4 x+9 y-10

Passo 1

Vamos resolver as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x \sin y + x^{3} y^{6} + 4x + 9y -10 $. Isso significa que vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial, que nos permitem derivar a função em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso envolve derivar cada termo da função $ f $ com relação a $ x $, considerando $ y $ como uma constante.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  1. $ x \sin y $: A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, então temos $ \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) = \sin y $.
  2. $ x^{3} y^{6} $: Aqui, $ y^{6} $ é tratado como uma constante. Usamos a regra da potência: $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} y^{6}) = 3x^{2} y^{6} $.
  3. $ 4x $: A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é 4.
  4. $ 9y $: Como $ y $ é tratado como constante, a derivada de $ 9y $ em relação a $ x $ é 0.
  5. $ -10 $: A derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais que encontramos:
partial fpartial x = sin y + 3x^2 y^6 + 4

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso envolve derivar cada termo da função $ f $ com relação a $ y $, considerando $ x $ como uma constante.

Passo 6

Derivando termo a termo:
  1. $ x \sin y $: Usamos a regra da derivada do seno: $ \frac{\partial}{\partial y}(x \sin y) = x \cos y $.
  2. $ x^{3} y^{6} $: Aqui, $ x^{3} $ é tratado como uma constante e aplicamos a regra da potência: $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3} y^{6}) = 6x^{3} y^{5} $.
  3. $ 4x $: Como $ x $ é constante em relação a $ y $, a derivada de $ 4x $ em relação a $ y $ é 0.
  4. $ 9y $: A derivada de $ 9y $ em relação a $ y $ é 9.
  5. $ -10 $: A derivada de uma constante é 0.

Passo 7

Somando todas as derivadas parciais que encontramos:
partial fpartial y = x cos y + 6x^3 y^5 + 9

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) $ são:
f(x, y)
e
partial fpartial x = sin y + 3x^2 y^6 + 4

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