Encontre as derivadas parciais de
Passo 1
Vamos resolver as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x \sin y + x^{3} y^{6} + 4x + 9y -10 $. Isso significa que vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial, que nos permitem derivar a função em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso envolve derivar cada termo da função $ f $ com relação a $ x $, considerando $ y $ como uma constante.
Passo 3
Derivando termo a termo:
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$ x \sin y $: A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, então temos $ \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) = \sin y $.
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$ x^{3} y^{6} $: Aqui, $ y^{6} $ é tratado como uma constante. Usamos a regra da potência: $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} y^{6}) = 3x^{2} y^{6} $.
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$ 4x $: A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é 4.
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$ 9y $: Como $ y $ é tratado como constante, a derivada de $ 9y $ em relação a $ x $ é 0.
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$ -10 $: A derivada de uma constante é 0.
Passo 4
Agora, somamos todas as derivadas parciais que encontramos:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso envolve derivar cada termo da função $ f $ com relação a $ y $, considerando $ x $ como uma constante.
Passo 6
Derivando termo a termo:
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$ x \sin y $: Usamos a regra da derivada do seno: $ \frac{\partial}{\partial y}(x \sin y) = x \cos y $.
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$ x^{3} y^{6} $: Aqui, $ x^{3} $ é tratado como uma constante e aplicamos a regra da potência: $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3} y^{6}) = 6x^{3} y^{5} $.
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$ 4x $: Como $ x $ é constante em relação a $ y $, a derivada de $ 4x $ em relação a $ y $ é 0.
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$ 9y $: A derivada de $ 9y $ em relação a $ y $ é 9.
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$ -10 $: A derivada de uma constante é 0.
Passo 7
Somando todas as derivadas parciais que encontramos:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) $ são:
e