Calcule as integrais a seguir:
integral0^1 x-2x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{x - 2}{x^{2} - x - 6} $ de $ 0 $ a $ 1 $. Isso envolve o estudo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que simplifica a divisão desses polinômios para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - x - 6 $. Procuramos dois números que multiplicados dão x^2 - x - 6 e somados dão -6. Esses números são -1 e -3. Então, podemos escrever:
2

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^1 x - 2(x - 3)(x + 2) , dx
Vamos aplicar a técnica de frações parciais, que consiste em decompor a fração em termos mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
A

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum $ (x - 3)(x + 2) $, temos:
(x - 3)(x + 2)
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação.

Passo 5

Escolha $ x = 3 $:
x = 3
Agora, escolha $ x = -2 $:
3 - 2 = A(3 + 2) + B(3 - 3) Rightarrow 1 = 5A Rightarrow A = 15

Passo 6

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a fração parcial fica:
A
Então, a integral original se transforma em:
B

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 15(x - 3) , dx = 15 ln|x - 3|
integral 45(x + 2) , dx = 45 ln|x + 2|
Portanto, a integral definida é:
15 ln|x - 3| + 45 ln|x + 2| |0^1

Passo 8

Vamos agora avaliar nos limites de $ 0 $ a $ 1 $:
0
Simplificando:
1

Passo 9

Vamos distribuir e reorganizar os termos:
15 ln 2 + 45 ln 3 - 15 ln 3 - 45 ln 2
Combina os termos semelhantes:
( 15 - 45 ) ln 2 + ( 45 - 15 ) ln 3
Isso resulta em:
-35 ln 2 + 35 ln 3

Passo 10

Fatorando $ \frac{3}{5} $, temos:
35

Resposta

Então, o valor da integral é:
35 ln ( 32 )

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