Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{x - 2}{x^{2} - x - 6} $ de $ 0 $ a $ 1 $. Isso envolve o estudo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que simplifica a divisão desses polinômios para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - x - 6 $. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos aplicar a técnica de frações parciais, que consiste em decompor a fração em termos mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum $ (x - 3)(x + 2) $, temos:
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação.
Passo 5
Escolha $ x = 3 $:
Agora, escolha $ x = -2 $:
Passo 6
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a fração parcial fica:
Então, a integral original se transforma em:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral definida é:
Passo 8
Vamos agora avaliar nos limites de $ 0 $ a $ 1 $:
Simplificando:
Passo 9
Vamos distribuir e reorganizar os termos:
Combina os termos semelhantes:
Isso resulta em:
Passo 10
Fatorando $ \frac{3}{5} $, temos:
Resposta
Então, o valor da integral é: