O plano
contém o equador de um planeta de massa
, centrado na origem, e uma partícula de massa
se desloca ao longo da curva
. A força gravitacional
que o planeta exerce sobre a partícula é dada por
onde
é função potencial gravitacional
. A força gravitacional é a resultante que age sobre a partícula, portanto, a Segunda Lei de Newton garante que
. Com essa notação, a energia mecânica da partícula é
.
a) Calcule as derivadas parciais
e
. Em seguida, justifique a afirmação de que
é diferenciável em seu domínio.
Resposta:
e
, que são contínuas no domínio. Logo
é diferenciável.
b) Esboce a curva de nível
de
, que contém o ponto
na imagem. Explique o formato da curva esboçada. Resposta: É um círculo centrado na origem.
c) Mostre que
.
Resposta: Basta usar a regra do produto.
d) Mostre que a energia mecânica da partícula é constante.
Resposta: Demonstração igual à do livro.
e) Use o item anterior para verificar que, se a partícula se desloca sobre uma curva de nível da função
, então
é constante.
Resposta: Se
e
são constantes, então
tem que ser constante pela equação do enunciado.