Denotamos por
Br(x0, y0)=(x, y) in R^2 mid(x-x0)^2+(y-y0)^2<r^2
o disco aberto de raio r >= 0 centrado no ponto ( x0, y0 ). Seja f: D subset R^2 R definida por f(x, y)=1, onde (\mathrm{D}=\mathrm{B}_{1}(0,0) \cup{(1,0)}). Mostre, usando a definição de limite, que
lim (x, y) (1,0) f(x, y)=1 )

Passo 1

O enunciado define a função fcolon DtoR por f(x,y)=1, onde
D = B1(0,0),cup,(1,0),
e pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
lim(x,y)to(1,0)f(x,y)=1
O conteúdo aqui é a definição varepsilon- de<a de limite em R^2.

Passo 2

Primeiro, note que (1,0) é ponto de acumulação de Dsetminus(1,0): de fato, para todo de<a>0, o disco
(x,y)midraiz(x-1)^2+y^2<de<a
intersecta B1(0,0) em pontos diferentes de (1,0), pois a distância de (1,0) à origem é exatamente 1 e B1(0,0) é aberto.

Passo 3

Relembrando a definição: dizemos que
lim(x,y)to(1,0)f(x,y)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que (x,y)in D e
0<raiz(x-1)^2+y^2<de<a,
então
l|f(x,y)-Lr|<varepsilon

Passo 4

Como f(x,y)=1 para todo (x,y)in D, temos sempre
l|f(x,y)-1r|=|1-1|=0<varepsilon
Portanto basta escolher qualquer de<a>0 para satisfazer a condição acima. Isso prova que
lim(x,y)to(1,0)f(x,y)=1

Resposta

1

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