Calcule as integrais a seguir.
integral1^2 (ln x)^2x^3 d x

Passo 1

Beleza, bora resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular:
integral1^2 (ln x)^2x^3 , dx
Aqui, a gente está trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções logarítmicas e potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e talvez uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe partes da integral para ser e , e depois calcula e para aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral:
  • Escolha . Isso porque, ao derivar , conseguimos simplificar a expressão.
  • Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = x^-2-2 = -12 x^2 :
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (ln x)^2x^3 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo = (ln x)^2 cdot (-12 x^2) - integral (-12 x^2) cdot 2 ln xx , dx , , e :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
= -(ln x)^22 x^2 + integral ln xx^3 , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver:
integral ln xx^3 , dx

Passo 7

Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Escolhemos:
Calculando e :

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln xx^3 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo = ln x cdot (-12 x^2) - integral (-12 x^2) cdot 1x , dx , , e :

Passo 9

Simplificando:
= -ln x2 x^2 + 12 integral 1x^3 , dx
Calculando a última integral:
integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = -12 x^2 + C
Então,
= -ln x2 x^2 + 12 (-12 x^2) + C = -ln x2 x^2 - 14 x^2 + C

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
integral (ln x)^2x^3 , dx = -(ln x)^22 x^2 + (-ln x2 x^2 - 14 x^2) + C
Simplificando tudo:
= -(ln x)^2 + ln x + 122 x^2 + C

Passo 11

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ -(ln x)^2 + ln x + 122 x^2 ]1^2
Calculando em = -(ln 2)^2 + ln 2 + 122 cdot 4 = -(ln 2)^2 + ln 2 + 128 :
= -(0)^2 + 0 + 122 cdot 1 = -122 = -14
Calculando em :

Passo 12

Subtraindo os valores:
-(ln 2)^2 + ln 2 + 128 - (-14) = -(ln 2)^2 + ln 2 + 128 + 14
Simplificando:
= 14 - (ln 2)^2 + ln 2 + 128 = 28 - (ln 2)^2 + ln 2 + 128
= 2 - (ln 2)^2 - ln 2 - 128 = 32 - (ln 2)^2 - ln 28

Resposta

A integral vale:
3/2 - (ln 2)^2 - ln 28
Ou de forma simplificada:
3 - 2 (ln 2)^2 - 2 ln 216

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