Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, bora resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular:
Aqui, a gente está trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções logarítmicas e potências de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e talvez uma substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe partes da integral para ser
e
, e depois calcula
e
para aplicar a fórmula.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral:
- Escolha
. Isso porque, ao derivar , conseguimos simplificar a expressão. - Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
para encontrar :
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
, e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
Passo 7
Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
, e
:
Passo 9
Simplificando:
Calculando a última integral:
Então,
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Simplificando tudo:
Passo 11
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A integral vale:
Ou de forma simplificada: