Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
a
. Vamos usar substituição e integração por partes para chegar na resposta. Precisamos lembrar das regras de substituição em integrais e como aplicar a integração por partes passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Sabendo que
e
, a integral fica:
Passo 5
Perceba que
, pois fizemos
. Então, substituindo novamente:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a integração por partes. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
A integral vale
.