Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi e^cos theta sen(2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Vamos usar substituição e integração por partes para chegar na resposta. Precisamos lembrar das regras de substituição em integrais e como aplicar a integração por partes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral0^pi e^cos theta cdot sin(2theta) , dtheta = 2 integral0^pi e^cos theta sintheta costheta , dtheta . Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = -sin theta , dtheta Rightarrow sin theta , dtheta = -du . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo 2 integral0^pi e^u cdot cos theta cdot sin theta , dtheta = 2 integralu(0)^u(pi) e^u cdot cos theta cdot (-du) na integral, temos:
-2 integral1^-1 e^u cos theta , du = 2 integral-1^1 e^u cos theta , du
Sabendo que e , a integral fica:

Passo 5

Perceba que 2 integral-1^1 e^u cdot u , du , pois fizemos . Então, substituindo novamente:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a integração por partes. Lembrando que:
integral u cdot e^u , du = u cdot e^u - integral e^u , du = u cdot e^u - e^u + C
Aplicando isso na nossa integral:
2 [ u cdot e^u - e^u ]-1^1

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para 1 cdot e^1 - e^1 = e - e = 0 :
(-1) cdot e^-1 - e^-1 = -e^-1 - e^-1 = -2e^-1
Para :

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:
2 [ 0 - (-2e^-1) ] = 2 cdot 2e^-1 = 4e

Resposta

A integral vale .

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