Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = 1 - x^{2} $ e precisamos descobrir:
- Domínio e Imagem: Basicamente, quais valores de $ x $ e $ y $ a função pode aceitar e quais valores de saída ela pode produzir.
- Curvas de Nível: São como cortes da função em diferentes alturas, mostrando onde a função tem valores constantes.
- Interseção com os Planos Coordenados: Vamos ver onde o gráfico da função corta os planos $ xy $, $ xz $ e $ yz $.
- Esboço do Gráfico: Fazer uma representação visual de tudo isso.
Vamos precisar de conceitos básicos de funções de duas variáveis e gráfico tridimensional. Vamos lá!
Passo 2
Determinar o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = 1 - x^{2} $, percebemos que não há restrições sobre $ y $; ele pode ser qualquer número real. Já para $ x $, a função $ x^{2} $ está definida para todos os números reais também. Portanto, o domínio é todo o plano $ xy $.
Matematicamente:
Passo 3
Determinar a Imagem:
A imagem da função são todos os valores que ela pode produzir. Como $ f(x, y) = 1 - x^{2} $, o valor de $ f $ depende apenas de $ x $.
Como $ x^{2} \geq 0 $ para todo $ x $, então:
O menor valor de $ 1 - x^{2} $ tende a menos infinito quando $ |x| $ aumenta. Portanto, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 1.
Matematicamente:
Passo 4
Encontrar as Curvas de Nível:
Curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ assume valores constantes. Vamos chamar esse valor constante de $ k $:
Resolvendo para $ x $:
Isso mostra que, para cada valor de $ k \leq 1 $, as curvas de nível são linhas verticais em $ x = \sqrt{1 - k} $ e $ x = -\sqrt{1 - k} $.
Passo 5
Determinar as Interseções com os Planos Coordenados:
-
Interseção com o Plano $ xy $: Já vimos que o domínio é todo o plano $ xy $.
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Interseção com o Plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. A função se torna $ z = 1 - x^{2} $, que é uma parábola voltada para baixo.
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Interseção com o Plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. A função se torna $ z = 1 $, que é uma linha horizontal no plano $ yz $.
Passo 6
Esboçar o Gráfico da Função:
Com base nos passos anteriores:
- O gráfico será uma superfície parabólica que abre para baixo ao longo do eixo $ z $.
- A altura máxima da superfície é $ z = 1 $ quando $ x = 0 $.
- Conforme $ |x| $ aumenta, $ z $ diminui.
- Não há dependência de $ y $, então a superfície é constante em qualquer direção ao longo do eixo $ y $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = 1 - x^{2} $ é todo o plano $ xy $. A imagem é todos os números reais menores ou iguais a 1. As curvas de nível são linhas verticais em $ x = \sqrt{1 - k} $ e $ x = -\sqrt{1 - k} $ para cada $ k \leq 1 $. As interseções com os planos coordenados são: no plano $ xz $, uma parábola $ z = 1 - x^{2} $; no plano $ yz $, uma linha horizontal $ z = 1 $. O gráfico da função é uma superfície parabólica que abre para baixo, com sua máxima em $ z = 1 $ no eixo $ z $ e constante ao longo do eixo $ y $.