Calcule as integrais a seguir.
integrale^e^4 1x raizln (x) d x

Passo 1

Então, vamos calcular a integral definida integrale^e^4 1x raizln (x) , dx. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve logaritmos e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas mudando de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
t = ln(x)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x:
dt = 1x , dx Rightarrow 1x , dx = dt
Isso nos permite reescrever a integral em termos de t.

Passo 3

Substituindo t = ln(x) e 1x , dx = dt na integral original, ficamos com:
integralt(e)^t(e^4) 1raizt , dt
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável t:
t(e) = ln(e) = 1 e t(e^4) = ln(e^4) = 4
Então, a integral fica:
integral1^4 t^-1/2 , dt
A integral de t^-1/2 é:
2 t^1/2 g|1^4 = 2 (raiz4 - raiz1) = 2 (2 - 1) = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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