Mostre que, se f(x) equiv 0, então a solução da equação é dada por
u(x, t)=12 c integralx-c t^x+c t g(y) d y
Sugestão: Qual a transformada inversa de h(omega)i omega ?
Passo 1
Resumão: temos a equação da onda utt=c^2uxx em R com condições iniciais u(x,0)=0 e ut(x,0)=g(x). O objetivo é usar a transformada de Fourier em x para transformar a PDE em uma ODE em t, resolver essa ODE e depois voltar por transformada inversa. Vamos precisar do par de transformada inversa que diz que a transformada inversa de hat h(omega)/(iomega) é integral-infty^x h(y)dy.
Passo 2
Aplicando a transformada de Fourier em x, definimos
hat u(omega,t)=integral-infty^+inftyu(x,t)e^-iomega x,dx
Como a derivada em t passa para fora da integral, obtemos