Considere a equação da onda
ut t(x, t)=c^2 ux x(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=f(x), & para x in(-infty,+infty), ut(x, 0)=g(x), & para x in(-infty,+infty)
Mostre que, se f(x) equiv 0, então a solução da equação é dada por
u(x, t)=12 c integralx-c t^x+c t g(y) d y
Sugestão: Qual a transformada inversa de h(omega)i omega ?

Passo 1

Resumão: temos a equação da onda utt=c^2uxx em R com condições iniciais u(x,0)=0 e ut(x,0)=g(x). O objetivo é usar a transformada de Fourier em x para transformar a PDE em uma ODE em t, resolver essa ODE e depois voltar por transformada inversa. Vamos precisar do par de transformada inversa que diz que a transformada inversa de hat h(omega)/(iomega) é integral-infty^x h(y)dy.

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier em x, definimos
hat u(omega,t)=integral-infty^+inftyu(x,t)e^-iomega x,dx
Como a derivada em t passa para fora da integral, obtemos
partialtthat u(omega,t)=c^2,Fuxx(omega,t)=c^2(-omega^2)hat u(omega,t)
As condições iniciais viram hat u(omega,0)=0 e partialthat u(omega,0)=hat g(omega).

Passo 3

Resolvendo a ODE em t
partialtthat u +c^2omega^2hat u=0
obtemos a solução geral
hat u(omega,t)=A(omega)cos(comega t)+B(omega)sin(comega t)
Usando as condições iniciais, A(omega)=0 e B(omega)=hat g(omega)/(comega). Logo
hat u(omega,t)=hat g(omega)comegasin(comega t)

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa em x:
u(x,t)=12piintegral-infty^+inftyhat g(omega)comegasin(comega t),e^iomega x,domega
Escrevendo sin(comega t)=tfrace^icomega t-e^-icomega t2i e separando a integral, surgem dois termos do tipo
12piintegral-infty^+inftyhat g(omega)iomegae^iomega(xpm ct),domega

Passo 5

Usamos o par de transformada inversa conhecido:
12piintegral-infty^+inftyhat h(omega)iomegae^iomega x,domega = integral-infty^x h(y),dy
Aplicando para h=g nos dois termos e subtraindo, fica
u(x,t)=12cl(integral-infty^x+ctg(y),dy-integral-infty^x-ctg(y),dyr)=12cintegralx-ct^x+ctg(y),dy

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y),dy

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