Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A integranda é o produto de uma função composta
e de . - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: substituição (trocar a parte composta por uma nova variável).
Motivação: a expressão aparece elevada a uma potência fracionária e sua derivada é
, que é muito parecida com o fator
que multiplica. Isso sugere usar a substituição
Motivação: a expressão
porque então a diferencial
envolve
, permitindo simplificar a integral.
Passo 3
Calcular
e expressar
em termos de
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituir na integral original usando
e
.
A integral fica
A integral fica
Colocando a constante fora da integral:
Passo 5
Aplicar a regra de potência para integrais: se
então
Aqui
, logo
. Assim
Passo 6
Simplificar o coeficiente e voltar para
.
Calcule a constante multiplicativa:
Calcule a constante multiplicativa:
Substituindo
de volta:
Passo 7
Verificação rápida por derivação (checagem): derivando a primitiva encontrada
Simplificando os fatores:
. Portanto a derivada é
que coincide com a integranda, confirmação que a primitiva está correta.