Calcule as integrais a seguir:
\int\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}} x^{2} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
\int\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}} x^{2}\,dx.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A integranda é o produto de uma função composta \left(x^{3}-2\right)^{1/7} e de x^{2}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: substituição (trocar a parte composta por uma nova variável).
Motivação: a expressão \left(x^{3}-2\right) aparece elevada a uma potência fracionária e sua derivada é 3x^{2}, que é muito parecida com o fator x^{2} que multiplica. Isso sugere usar a substituição
u = x^{3}-2,
porque então a diferencial du envolve x^{2}dx, permitindo simplificar a integral.

Passo 3

Calcular du e expressar x^{2}dx em termos de du.
Derivando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\big(x^{3}-2\big)\,dx = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituir na integral original usando u e du.
A integral fica
\int\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}} x^{2}\,dx = \int u^{\frac{1}{7}}\cdot\frac{1}{3}\,du.
Colocando a constante fora da integral:
= \frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{7}}\,du.

Passo 5

Aplicar a regra de potência para integrais: se n\neq -1 então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{7}, logo n+1=\tfrac{8}{7}. Assim
\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{7}}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C.

Passo 6

Simplificar o coeficiente e voltar para x.
Calcule a constante multiplicativa:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{8}{7}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8} = \frac{7}{24}.
Substituindo u = x^{3}-2 de volta:
\int\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}} x^{2}\,dx = \frac{7}{24}\left(x^{3}-2\right)^{\frac{8}{7}} + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (checagem): derivando a primitiva encontrada
\frac{d}{dx}\left[\frac{7}{24}\left(x^{3}-2\right)^{\frac{8}{7}}\right] = \frac{7}{24}\cdot\frac{8}{7}\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}}\cdot 3x^{2}.
Simplificando os fatores: \frac{7}{24}\cdot\frac{8}{7}\cdot 3 = 1. Portanto a derivada é
x^{2}\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}},
que coincide com a integranda, confirmação que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{24}\left(x^{3}-2\right)^{\frac{8}{7}}+C

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