Calcule as integrais a seguir:
\int x \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx,\qquad a\in\mathbb{R}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é x.
  • a é uma constante real.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão cuja derivada é o integrando) mais a constante de integração.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa):
  • Dentro da raiz aparece a expressão x^{2}+a^{2}.
  • A derivada de x^{2}+a^{2} em relação a x é 2x, que é proporcional ao fator x que multiplica a raiz.
  • Isso sugere usar a substituição clássica u = x^{2}+a^{2}, porque assim o diferencial du envolve exatamente x\,dx. Substituição é uma técnica básica: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, podemos trocar a variável e simplificar a integral.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
u = x^{2}+a^{2}.
Calcular du:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Usando \sqrt{x^{2}+a^{2}} = \sqrt{u} = u^{1/2} e x\,dx = \tfrac{1}{2}du, temos
\int x \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Lembrar a regra de potência para integrais (a “aula rápida”):
  • Para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Isso é apenas a inversa da regra da derivada de potências.

Passo 6

Aplicar a regra de potência à integral em u:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C.
Simplificando a constante:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3},
logo o resultado em u é
\frac{1}{3}u^{3/2} + C.

Passo 7

Voltar à variável x substituindo u = x^{2}+a^{2}:
\int x \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2} + C.
Observação sobre o caso a=0: se a=0 obtém-se \tfrac{1}{3}(x^{2})^{3/2}=\tfrac{1}{3}|x|^{3}, que é consistente com x\sqrt{x^{2}}=x|x|.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (usar regra da cadeia):
Calcular a derivada de \dfrac{1}{3}\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}\right] = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{1/2}\cdot 2x = x\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{1/2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}+C

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