Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. -
é uma constante real. - Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão cuja derivada é o integrando) mais a constante de integração.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa):
- Dentro da raiz aparece a expressão
. - A derivada de
em relação a é , que é proporcional ao fator que multiplica a raiz. - Isso sugere usar a substituição clássica
, porque assim o diferencial envolve exatamente . Substituição é uma técnica básica: se e , podemos trocar a variável e simplificar a integral.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
Calcular
:
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. Usando
e
, temos
Passo 5
Lembrar a regra de potência para integrais (a “aula rápida”):
- Para qualquer
,
Aqui
. Isso é apenas a inversa da regra da derivada de potências.
Passo 6
Aplicar a regra de potência à integral em
:
Simplificando a constante:
logo o resultado em
é
Passo 7
Voltar à variável
substituindo
:
Observação sobre o caso
: se
obtém-se
, que é consistente com
.
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (usar regra da cadeia):
Calcular a derivada de :
Calcular a derivada de
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.