Seja g(\theta)=\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{(5-\cos (\theta))^{4}}.
(a) Encontre a primitiva de g(\theta), G(\theta)=\int g(\theta) d \theta.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que G\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{727}{729}.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\bigl(5-\cos(\theta)\bigr)^{4}}
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar uma primitiva G(\theta)=\int g(\theta)\,d\theta (ou seja, qualquer antiderivada de g);
  • (b) determinar a constante de integração sabendo que G\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{727}{729}.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda contém \sin(\theta) no numerador e uma função de \cos(\theta) no denominador.
  • Valor específico fornecido: G\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{727}{729}.

Passo 2

Estratégia de integração (explicação didática): quando na integranda aparece uma função f(\cos\theta) e o numerador contém \sin\theta\,d\theta, uma boa escolha é fazer a substituição
u=5-\cos(\theta).
Isto porque ao derivar u em relação a \theta obtemos uma expressão proporcional a \sin(\theta), o que transforma a integral numa integral simples em u.
Calculemos o diferencial du:
u=5-\cos(\theta)\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{d\theta}=\sin(\theta),
ou seja
du=\sin(\theta)\,d\theta.
Portanto o elemento \sin(\theta)\,d\theta da integral é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{\sin(\theta)}{\bigl(5-\cos(\theta)\bigr)^{4}}\,d\theta = \int \frac{du}{u^{4}}.
Explicando a fórmula de integração usada: para u\neq0 e n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos n=-4, logo n+1=-3.

Passo 4

Calcule a integral em u:
\int u^{-4}\,du=\frac{u^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3}u^{-3}+C.
Voltando à variável \theta usando u=5-\cos(\theta), obtemos a primitiva geral:
G(\theta)=-\frac{1}{3\bigl(5-\cos(\theta)\bigr)^{3}}+C,
onde C é a constante de integração. Para checar rapidamente (sanidade): derivando G(\theta) pela regra da cadeia recupera-se g(\theta).

Passo 5

Agora usamos a condição inicial para determinar C. Primeiro avalie G em \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Calcule \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Então
5-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.
Eleve ao cubo:
\biggl(\frac{9}{2}\biggr)^{3}=\frac{9^{3}}{2^{3}}=\frac{729}{8}.
Substitua em G:
G\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{9}{2}\right)^{3}}+C =-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\tfrac{729}{8}}+C =-\frac{1}{3}\cdot\frac{8}{729}+C =-\frac{8}{2187}+C.

Passo 6

A condição dada é
G\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{727}{729}.
Igualando e resolvendo para C:
-\frac{8}{2187}+C=\frac{727}{729}.
Coloque o lado direito com denominador 2187 (multiplicando numerador e denominador por 3):
\frac{727}{729}=\frac{727\cdot 3}{729\cdot 3}=\frac{2181}{2187}.
Logo
C=\frac{2181}{2187}+\frac{8}{2187}=\frac{2189}{2187}.
Observação: \dfrac{2189}{2187}=1+\dfrac{2}{2187}, mas a forma fracionária \dfrac{2189}{2187} é adequada.

Resposta

(a) G(\theta)=-\dfrac{1}{3\bigl(5-\cos(\theta)\bigr)^{3}}+C
(b) C=\dfrac{2189}{2187}

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