Seja
.
(a) Encontre a primitiva de
.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
.
(a) Encontre a primitiva de
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) encontrar uma primitiva
(ou seja, qualquer antiderivada de ); - (b) determinar a constante de integração sabendo que
.
Informações relevantes dadas:
- A integranda contém
no numerador e uma função de no denominador. - Valor específico fornecido:
.
Passo 2
Estratégia de integração (explicação didática): quando na integranda aparece uma função
e o numerador contém
, uma boa escolha é fazer a substituição
Isto porque ao derivar
em relação a
obtemos uma expressão proporcional a
, o que transforma a integral numa integral simples em
.
Calculemos o diferencial
:
ou seja
Portanto o elemento
da integral é exatamente
.
Passo 3
Substituindo na integral original:
Explicando a fórmula de integração usada: para
e
,
Aqui temos
, logo
.
Passo 4
Calcule a integral em
:
Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva geral:
onde
é a constante de integração. Para checar rapidamente (sanidade): derivando
pela regra da cadeia recupera-se
.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial para determinar
. Primeiro avalie
em
.
Calcule . Então
Calcule
Eleve ao cubo:
Substitua em
:
Passo 6
A condição dada é
Igualando e resolvendo para
:
Coloque o lado direito com denominador
(multiplicando numerador e denominador por
):
Logo
Observação:
, mas a forma fracionária
é adequada.
Resposta
(a)
(b)