Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja
. - Não há limites de integração, portanto o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar linearidade da integral. A integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Isto reduz o problema a calcular duas integrais mais simples separadamente.
Passo 3
Calcular
usando a regra do poder (power rule) para integrais.
Regra do poder: para ,
Regra do poder: para
Aqui
é
, ou seja
. Aplicando a fórmula:
Observação: esse
é uma constante de integração parcial; ao somar com a outra integral consolidaremos num único
.
Passo 4
Calcular
. A expressão
é
, caso em que a regra do poder não vale (porque
). Para esse caso especial usamos a primitiva do tipo logarítmico:
Explicação do porquê do valor absoluto: a função
só está definida para
, mas
está definida para
também; a primitiva que funciona em ambos os lados é
. Podemos verificar diferenciando:
para
.
Passo 5
Somando os resultados das duas integrais obtidas:
onde
é a constante de integração (única, já consolidada).
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta para checar que dá a função original.
Calcule
Calcule
que é exatamente a função integrando. Logo a primitiva está correta.