Calcule as integrais a seguir:
\int\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: x e \dfrac{1}{x}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja x+\dfrac{1}{x}.
  • Não há limites de integração, portanto o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar linearidade da integral. A integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx = \int x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx.
Isto reduz o problema a calcular duas integrais mais simples separadamente.

Passo 3

Calcular \int x\,dx usando a regra do poder (power rule) para integrais.
Regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é x^{1}, ou seja n=1. Aplicando a fórmula:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.
Observação: esse C é uma constante de integração parcial; ao somar com a outra integral consolidaremos num único C.

Passo 4

Calcular \int \dfrac{1}{x}\,dx. A expressão \dfrac{1}{x} é x^{-1}, caso em que a regra do poder não vale (porque n=-1). Para esse caso especial usamos a primitiva do tipo logarítmico:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Explicação do porquê do valor absoluto: a função \ln(x) só está definida para x>0, mas \dfrac{1}{x} está definida para x<0 também; a primitiva que funciona em ambos os lados é \ln|x|. Podemos verificar diferenciando: \dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x} para x\neq 0.

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais obtidas:
\int x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (única, já consolidada).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta para checar que dá a função original.
Calcule
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2} + \ln|x| + C\right) = \frac{d}{dx}\frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{dx}\ln|x| + \frac{d}{dx}C = x + \frac{1}{x} + 0,
que é exatamente a função integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C

Exercícios relacionados