Calcule as integrais a seguir pelo método conveniente (em alguns itens será necessário o uso de mais de um método)
integral x1-x^4 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral x1 - x^4 ,dx. O conteúdo envolve integrais por substituição e frações parciais pra tratar a expressão 1 - x^4=(1 - x^2)(1 + x^2). Vamos usar a substituição certa pra simplificar e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Observe que a derivada de x^2 é 2x. Então, fazemos a substituição
u &= x^2, du &= 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Isso transforma a integral original em algo em função de u.

Passo 3

Substituindo em integral x1 - x^4,dx, temos:
integral x1 - x^4,dx = integral x,dx1 - (x^2)^2 = 12 integral du1 - u^2
Agora o integrando é 1/(1 - u^2), que a gente resolve com frações parciais.

Passo 4

A gente decompõe
11 - u^2 = 1(1 - u)(1 + u) = A1 - u + B1 + u
Multiplicando ambos os lados por (1 - u)(1 + u)
1 = A(1 + u) + B(1 - u)
Escolhendo valores para u:
  • Se u = 1, fica 1 = A(2) implies A = tfrac12
  • Se u = -1, fica 1 = B(2) implies B = tfrac12
    Então
11 - u^2 = 1/21 - u + 1/21 + u

Passo 5

Agora integramos cada parte:
12 integral du1 - u + 12 integral du1 + u
Lembrando que
integral du1 - u = -ln|1 - u| + C1,
integral du1 + u = ln|1 + u| + C2
Então
integral du1 - u^2 = 12l(-ln|1 - u| + ln|1 + u|r) + C
Mas havia um tfrac12 multiplicando lá fora, então no total:
12 integral du1 - u^2 = 14l(ln|1 + u| - ln|1 - u|r) + C

Passo 6

Voltando pra variável x, onde u = x^2, a resposta final fica:
boxedintegral x1 - x^4,dx = 14lnl|1 + x^21 - x^2r| + C

Resposta

14lnl|1 + x^21 - x^2r| + C

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