Resolver a EDO: (x-y cdot arctg(y / x) d x+x cdot arctg(y / x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você enviou:
(x - y cdot arctan(yx)),dx + x cdot arctan(yx),dy = 0
Esse tipo de problema pertence à área de Equações Differenciais e vamos precisar usar técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a expressão v = yx sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição. Vamos definir:
y = v cdot x
Assim, podemos expressar em termos de e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dy = v , dx + x , dv em relação a dy = v, dx + x, dv . Diferenciando , obtemos:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir (x - x v arctan(v)),dx + x arctan(v) (v,dx + x,dv) = 0 e x,dx - x v arctan(v),dx + x v arctan(v),dx + x^2 arctan(v),dv = 0 na equação original:
Simplificando os termos:
Perceba que os termos e se cancelam.

Passo 5

Após o cancelamento, ficamos com:
x,dx + x^2 arctan(v),dv = 0
Podemos dividir toda a equação por dx + x arctan(v),dv = 0 para simplificar:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma dxdv + x arctan(v) = 0 , onde . Podemos reescrever isso como:

Passo 7

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(v) = e^integral P(v),dv = e^integral arctan(v),dv é dado por:
integral arctan(v),dv = v arctan(v) - 12 ln(1 + v^2) + C
Vamos calcular a integral:
mu(v) = e^v arctan(v) - 12 ln(1 + v^2) = e^v arctan(v)(1 + v^2)^1/2
Portanto,

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
e^v arctan(v)(1 + v^2)^1/2 cdot dxdv + e^v arctan(v)(1 + v^2)^1/2 cdot x arctan(v) = 0
Isso simplifica para:
ddv( x cdot e^v arctan(v)(1 + v^2)^1/2 ) = 0

Passo 9

Integrando ambos os lados, obtemos:
x cdot e^v arctan(v)(1 + v^2)^1/2 = C
onde é a constante de integra��ão.

Passo 10

Substituindo x cdot e^(yx) arctan(yx)(1 + (yx)^2)^1/2 = C de volta na equação, temos a solução geral:
x cdot e^yx arctan(yx) cdot 1raiz1 + (yx)^2 = C
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
x cdot e^(yx) arctan(yx) cdot 1raiz1 + (yx)^2 = C
onde é uma constante arbitrária.

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