Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição direta.
integral 2 raiz2-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função dentro da raiz que a gente pode substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de u = 2 - 3x :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dudx = -3 Rightarrow du = -3 , dx . Derivando dx = du-3 em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral 2 raiz2 - 3x , dx = integral 2 raizu cdot du-3 = -23 integral raizu , du e na integral original:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C . Lembrando que , a integral fica:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
-23 integral raizu , du = -23 cdot 23 u^3/2 + C = -49 u^3/2 + C

Passo 7

Agora, substituímos -49 (2 - 3x)^3/2 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a .

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