Descreva a região
no plano
que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis,
e
, e precisa descobrir duas coisas: primeiro, qual é a região no plano
onde essa função existe (ou seja, onde a função está “valida”), e segundo, qual é o conjunto de valores que essa função pode assumir, que a gente chama de imagem da função. A função que estamos trabalhando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínio de função (onde a função está definida) e imagem da função (quais valores ela pode assumir). Também vamos mexer um pouco com desigualdades e figuras geométricas como elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
e
a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, porque raíz quadrada de número negativo não existe nos números reais. Então, estabelecemos a seguinte condição:
Isso garante que a função
vai produzir números reais.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação para entender melhor a região
no plano
:
Se dividirmos todos os termos por 4 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem (0,0), onde o eixo maior tem comprimento 2 (pois
) ao longo do eixo
e o eixo menor tem comprimento 1 ao longo do eixo
. Então, a região
é toda a área dentro dessa elipse, incluindo a própria elipse.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Vimos que a expressão dentro da raiz,
, está entre 0 e 4. Então, a raiz quadrada desse valor estará entre:
Como a raiz quadrada de um número entre 0 e 4 vai de 0 a 2, a imagem da função
é o intervalo de 0 a 2.
Resposta
A região
é uma elipse centrada na origem, definida por
no plano
. A imagem da função
é o intervalo
.