Descreva a região R no plano x y que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função:
f(x, y)=raiz4-x^2-4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis, f(x, y) = raiz4 - x^2 - 4y^2 e , e precisa descobrir duas coisas: primeiro, qual é a região no plano onde essa função existe (ou seja, onde a função está “valida”), e segundo, qual é o conjunto de valores que essa função pode assumir, que a gente chama de imagem da função. A função que estamos trabalhando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínio de função (onde a função está definida) e imagem da função (quais valores ela pode assumir). Também vamos mexer um pouco com desigualdades e figuras geométricas como elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de 4 - x^2 - 4y^2 >= 0 e a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, porque raíz quadrada de número negativo não existe nos números reais. Então, estabelecemos a seguinte condição:
Isso garante que a função vai produzir números reais.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação para entender melhor a região 4 - x^2 - 4y^2 >= 0 no plano x^2 + 4y^2 <= 4 :
x^24 + y^21 <= 1
Se dividirmos todos os termos por 4 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem (0,0), onde o eixo maior tem comprimento 2 (pois ) ao longo do eixo e o eixo menor tem comprimento 1 ao longo do eixo . Então, a região é toda a área dentro dessa elipse, incluindo a própria elipse.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função raiz0 = 0 . A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Vimos que a expressão dentro da raiz, raiz4 = 2 , está entre 0 e 4. Então, a raiz quadrada desse valor estará entre:
Como a raiz quadrada de um número entre 0 e 4 vai de 0 a 2, a imagem da função é o intervalo de 0 a 2.

Resposta

A região é uma elipse centrada na origem, definida por no plano . A imagem da função é o intervalo .

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