Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição direta.
integral 3 t cos 3 t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 3tcos(3t^2),dt usando substituição direta. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar identificar uma função interna cuja derivada esteja presente.

Passo 2

Fazemos a substituição para simplificar a integral: definimos
$$
u = 3t^2.$$

Passo 3

Calculamos o diferencial de nu:
dnudt = 6t
Portanto,
6t,dt = dnu
e como temos 3t,dt, escrevemos
3t,dt = 6t,dt2 = dnu2

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral 3tcos(3t^2),dt = integral cos(nu) cdot dnu2 = 12integral cos(nu),dnu
Agora integramos cos(nu):
12integral cos(nu),dnu = 12sin(nu) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t usando nu = 3t^2, o que dá
12sin(3t^2) + C

Resposta

12sin(3t^2) + C

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