Descreva a região R no plano x y que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função:
f(x, y)=e^xy

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio (região R) da função f(x,y)=e^{x/y} no plano xy e também determinar a imagem de f. O conteúdo é domínio de funções de duas variáveis com restrições de divisão e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a expressão xy exige yneq0 para não termos divisão por zero. Não há outras restrições, pois a exponencial está definida para todo valor real do expoente. Logo, o domínio é
R = (x,y)inR^2 : y neq 0

Passo 3

Para determinar a imagem, note que o expoente t=tfracxy percorre todo R quando x varia em R e yneq0. Como a função exponencial e^t em R tem imagem (0,infty), concluímos que a imagem de f é (0,infty).

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2 : y neq 0. Imagem: (0,infty).

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