Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
\int 2 x e^{x^{2}} \cos \left(e^{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2 x e^{x^{2}} \cos\!\left(e^{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas e pontos importantes para anotar:
  • A função integranda é 2 x e^{x^{2}} \cos\!\left(e^{x^{2}}\right).
  • Aparece a composição \cos\!\big(e^{x^{2}}\big) — ou seja, dentro do cosseno está a função e^{x^{2}}.
  • Há um fator multiplicativo 2x e^{x^{2}} que lembra fortemente a derivada de e^{x^{2}}.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (substituição simples), de forma didática:
  • A ideia da substituição é identificar uma parte da expressão que é uma função composta g(x) e verificar se seu diferencial g'(x)\,dx aparece multiplicando essa parte.
  • Se escolhermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Isso permite reescrever a integral em termos de u:
\int f\big(g(x)\big) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
  • Depois de integrar em u, voltamos à variável x substituindo u=g(x).
    Essa é a “fórmula prática” da substituição: trocar parte da expressão por u e trocar dx por du/g'(x), ou, quando du aparece exatamente, simplesmente substituir.

Passo 3

Aplicando a substituição ao nosso caso:
  • Observe a expressão dentro do cosseno: e^{x^{2}}. Vamos escolher
u = e^{x^{2}}.
  • Calcular du usando a regra da cadeia: a derivada de e^{x^{2}} em relação a x é e^{x^{2}} vezes a derivada de x^{2}, que é 2x. Assim
du = \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big)\,dx = 2x e^{x^{2}}\,dx.
  • Repare que o diferencial du é exatamente o fator presente no integrando: 2x e^{x^{2}}\,dx. Isso significa que a substituição é perfeita e elimina toda a parte complicada.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral:
  • Substituindo u e du temos
2x e^{x^{2}}\,dx = du,
portanto a integral becomes
\int 2 x e^{x^{2}} \cos\!\left(e^{x^{2}}\right)\,dx = \int \cos(u)\,du.
  • Agora a integral está numa forma simples em termos de u.

Passo 5

Integrar em u:
  • A antiderivada de \cos(u) é \sin(u), porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
  • Então
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x (retro-substituição):
  • Lembrando que u = e^{x^{2}}, substitui-se de volta:
\sin(u) + C = \sin\!\big(e^{x^{2}}\big) + C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem por diferenciação):
  • Diferenciando a primitiva obtida para confirmar:
\frac{d}{dx}\sin\!\big(e^{x^{2}}\big) = \cos\!\big(e^{x^{2}}\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big) = \cos\!\big(e^{x^{2}}\big)\cdot 2x e^{x^{2}},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\sin\!\big(e^{x^{2}}\big)+C

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