Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e pontos importantes para anotar:
- A função integranda é
. - Aparece a composição
— ou seja, dentro do cosseno está a função . - Há um fator multiplicativo
que lembra fortemente a derivada de .
O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (substituição simples), de forma didática:
- A ideia da substituição é identificar uma parte da expressão que é uma função composta
e verificar se seu diferencial aparece multiplicando essa parte. - Se escolhermos
, então . Isso permite reescrever a integral em termos de :
- Depois de integrar em
, voltamos à variável substituindo .
Essa é a “fórmula prática” da substituição: trocar parte da expressão pore trocar por , ou, quando aparece exatamente, simplesmente substituir.
Passo 3
Aplicando a substituição ao nosso caso:
- Observe a expressão dentro do cosseno:
. Vamos escolher
- Calcular
usando a regra da cadeia: a derivada de em relação a é vezes a derivada de , que é . Assim
- Repare que o diferencial
é exatamente o fator presente no integrando: . Isso significa que a substituição é perfeita e elimina toda a parte complicada.
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral:
- Substituindo
e temos
portanto a integral becomes
- Agora a integral está numa forma simples em termos de
.
Passo 5
Integrar em
:
- A antiderivada de
é , porque . - Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
(retro-substituição):
- Lembrando que
, substitui-se de volta:
Passo 7
Verificação rápida (checagem por diferenciação):
- Diferenciando a primitiva obtida para confirmar:
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.