Escolha do método (explicação didática e motivo): vou procurar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Por que isso funciona? Se \mathbf{v} é um autovetor com autovalor \lambda, então \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} é solução de \mathbf{x}'=A\mathbf{x} porque substituindo:
Se encontrarmos duas soluções linearmente independentes em \mathbb{R}^2, suas colunas formam uma matriz fundamental. Vou, portanto, calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é a incógnita (autovalor).
O sistema (A-3I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\mathbf{0} dá as equações
-2x+y=0,\qquad 4x-2y=0.
A segunda equação é múltiplo da primeira, então basta usar a primeira: -2x+y=0\Rightarrow y=2x. Tomando x=1 (escolha de um parâmetro livre), obtemos um autovetor
Construção de soluções e da matriz fundamental: cada autovetor gera a solução \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Assim temos duas soluções linearmente independentes
Verificação da independência (garantia de que \Phi(t) é realmente matriz fundamental): calculamos o determinante de \Phi(t). Se for não nulo para algum t (na verdade para todo t), as colunas são linearmente independentes.