Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede o cálculo da sua soma. A informação disponível é apenas o termo geral da série, ou seja, a sequência dos termos
Passo 2
Regra importante (teste necessário para convergência): para que a série
seja convergente é necessário que o termo geral tenda a zero:
Isto é fundamental e fácil de lembrar: se os termos não vão a zero, somar infinitos termos não pode dar um número finito. Vamos, portanto, calcular
.
Passo 3
Calcular o limite da fração dentro do logaritmo. Para
grande, os termos de maior ordem em
dominam; rigorosamente, dividimos numerador e denominador por
:
Tomando o limite quando
,
Passo 4
Usar continuidade do logaritmo: a função
é contínua onde é definida, portanto o limite do logaritmo é o logaritmo do limite (desde que o limite do argumento seja positivo, o que aqui é verdade):
Note que
é um número negativo e, sobretudo, diferente de zero.
Passo 5
Aplicar o teste necessário: como
, a série
não pode ser convergente. Mais: como o limite do termo geral é um número negativo, a soma parcial cresce em módulo sem limite para
. Para ver isso de forma um pouco mais rigorosa, seja
Escolha
. Então existe
tal que para todo
tem-se
, isto é
(um número negativo fixo). Assim, os somatórios parciais
para
satisfazem
e o lado direito tende a
quando
. Logo os
tendem a
: a série diverge para
.
Passo 6
Resumo em linguagem de prova curta (pra lembrar na prova): mostrou-se que o termo geral não tende a zero (
), portanto a série diverge. Como o limite do termo é negativo, a soma parcial vai a
.
Resposta
A série diverge (mais precisamente, diverge para
).