Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede o cálculo da sua soma. A informação disponível é apenas o termo geral da série, ou seja, a sequência dos termos
a_n=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right),\quad n=1,2,3,\dots

Passo 2

Regra importante (teste necessário para convergência): para que a série \sum_{n=1}^\infty a_n seja convergente é necessário que o termo geral tenda a zero:
\text{se }\sum_{n=1}^\infty a_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Isto é fundamental e fácil de lembrar: se os termos não vão a zero, somar infinitos termos não pode dar um número finito. Vamos, portanto, calcular \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 3

Calcular o limite da fração dentro do logaritmo. Para n grande, os termos de maior ordem em n dominam; rigorosamente, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} = \frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Usar continuidade do logaritmo: a função \ln é contínua onde é definida, portanto o limite do logaritmo é o logaritmo do limite (desde que o limite do argumento seja positivo, o que aqui é verdade):
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) = \ln\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
Note que \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) é um número negativo e, sobretudo, diferente de zero.

Passo 5

Aplicar o teste necessário: como \lim_{n\to\infty} a_n = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\neq 0, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode ser convergente. Mais: como o limite do termo geral é um número negativo, a soma parcial cresce em módulo sem limite para -\infty. Para ver isso de forma um pouco mais rigorosa, seja
L=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)<0.
Escolha \varepsilon = -\tfrac{L}{2}>0. Então existe N tal que para todo n\ge N tem-se |a_n-L|<\varepsilon, isto é a_n<L/2 (um número negativo fixo). Assim, os somatórios parciais S_M=\sum_{n=1}^M a_n para M\ge N satisfazem
S_M \le S_{N-1} + (M-N+1)\frac{L}{2},
e o lado direito tende a -\infty quando M\to\infty. Logo os S_M tendem a -\infty: a série diverge para -\infty.

Passo 6

Resumo em linguagem de prova curta (pra lembrar na prova): mostrou-se que o termo geral não tende a zero ( a_n\to\ln(1/2)\neq0), portanto a série diverge. Como o limite do termo é negativo, a soma parcial vai a -\infty.

Resposta

A série diverge (mais precisamente, diverge para -\infty).

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