Considere a integral
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, I deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
Para a segunda integral:
iii)
□ , □ ].
iv)
, □ ]
b) Ao transformar
para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i)
, □ ]
ii)
, □ |
Para a segunda integral em polares:
iii)
□ , □ |
iv)
, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que
□ drdθ.
Informe suas respostas de acordo com as orientações abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, I deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
ii)
iii)
iv)
b) Ao transformar
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
Vou entender direitinho o que o enunciado deu e o que ele pede. A integral é
O enunciado pede:
- (a) ao inverter a ordem de integração em coordenadas cartesianas, escrever
como soma de integrais duplas e preencher os limitantes: - primeira integral: (i)
e (ii) ; - segunda integral: (iii)
e (iv) .
- primeira integral: (i)
- (b) ao transformar para coordenadas polares, também será soma de integrais; preencher:
- primeira integral polares: (i)
, (ii) ; - segunda integral polares: (iii)
, (iv) ; - e transformar o integrando:
.
- primeira integral polares: (i)
Informações relevantes dadas (já extraídas do integrando e dos limites):
- Curva inferior em
: (parábola com vértice em ). - Curva superior em
: (ramo superior do círculo de centro e raio ). -
varia de até . - Em
as duas curvas se intersectam (isso vem do fato de que o limite superior e inferior coincidem nesse ). A região está no semiplano e com .
Passo 2
Vou achar os pontos de interseção das curvas para entender a fronteira da região. Igualo a parábola e a equação do círculo (a forma completa do círculo é
).
Substituindo
em
:
Expando:
Os
se cancelam, restando
Fatorando
:
Portanto
ou
Assim os valores de interseção (com
) são
e
. Para
o valor de
na parábola é
Observação: em
a parábola dá
e o círculo tem dois pontos
(ramo inferior) e
(ramo superior). A integral usa o ramo superior
, então a união vertical da região vai de
até
, mas para inverter a ordem é preciso dividir em dois blocos porque, para certos
, o limite em
vem da parábola e para outros vem do círculo.
Passo 3
Agora vou achar, para um
fixo, qual é o intervalo em
que pertence à região. As condições que definem a região são:
A primeira desigualdade dá
, isto é
A segunda (porque o ponto deve ficar abaixo do ramo superior do círculo) é equivalente à condição interior do círculo, que pode ser escrita como
ou seja
Para que um dado
pertença à projeção vertical da região precisamos de
que satisfaça simultaneamente as duas desigualdades; portanto
A mudança de expressão (qual dos dois é o menor) ocorre quando
Faço as contas para encontrar o valor crítico de
. Expandindo:
Reorganizando:
Assim os valores críticos são
e
. Como sabemos da geometria, para
vale
, e para
vale
. Portanto ao inverter a ordem devemos dividir em dois blocos:
- Para
: . - Para
: .
Passo 4
Escrevo então a integral invertida em coordenadas cartesianas como soma de duas integrais (apenas para contextualizar; o que importa para as caixas pedidas são os limites já identificados):
Isso corresponde exatamente aos limitantes pedidos no item (a).
Passo 5
Agora passo para coordenadas polares. Levo as curvas para polares usando
e
.
- O círculo (a condição interior)
em polares: , o que para dá
- A parábola
em polares: . Para isso dá
Portanto, em polares, a condição inferior
vira
com
, e a condição superior vira
. Assim, como antes, o raio máximo em cada direção
é o mínimo entre essas duas curvas.
Passo 6
Preciso achar o ângulo onde as duas curvas se cruzam em polares, i.e. solução de
Se
temos
(que é uma fronteira), caso contrário posso dividir por
e obter
Como a região está no primeiro quadrante (
), tomo a raiz positiva:
(Equivalente:
, pois
.)
Para
vale
, então
.
Para vale
, então
.
Para
Passo 7
Transformo o integrando:
em polares. Lembrando que
,
e
, tenho
Portanto a integral em polares fica como soma de duas integrais com os limites que identifiquei:
- primeira:
; - segunda:
;
come integrando .
Resposta
a-i)
a-ii)
a-iii)
a-iv)
a-ii)
a-iii)
a-iv)
b-i)
b-ii)
b-iii)
b-iv)
b-ii)
b-iii)
b-iv)
Transformação do integrando:
.