Considere a integral I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{35}{4}}} \int_{\frac{2 x^{2}}{5}}^{3+\sqrt{9-x^{2}}} x y^{1} d y d x para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, I deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i) y \in[0, □ ]
ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral:
iii) y \in[ □ , □ ].
iv) x \in[0, □ ]
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i) \theta \in[0, □ ]
ii) r \in[0, □ |
Para a segunda integral em polares:
iii) \theta \in □ , □ |
iv) r \in[0, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que \int(x, y) d y d x=x y^{1} d y d x= □ drdθ.
Informe suas respostas de acordo com as orientações abaixo:

Passo 1

Vou entender direitinho o que o enunciado deu e o que ele pede. A integral é
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{35}{4}}}\int_{\frac{2x^{2}}{5}}^{\,3+\sqrt{9-x^{2}}} x\,y\,dy\,dx.
O enunciado pede:
  • (a) ao inverter a ordem de integração em coordenadas cartesianas, escrever I como soma de integrais duplas e preencher os limitantes:
    • primeira integral: (i) y\in[0,\square] e (ii) x\in[0,\square];
    • segunda integral: (iii) y\in[\square,\square] e (iv) x\in[0,\square].
  • (b) ao transformar para coordenadas polares, também será soma de integrais; preencher:
    • primeira integral polares: (i) \theta\in[0,\square], (ii) r\in[0,\square];
    • segunda integral polares: (iii) \theta\in[\square,\square], (iv) r\in[0,\square];
    • e transformar o integrando: x y\,dy\,dx = \square\, dr\,d\theta.
Informações relevantes dadas (já extraídas do integrando e dos limites):
  • Curva inferior em y: \displaystyle y=\frac{2}{5}x^{2} (parábola com vértice em 0).
  • Curva superior em y: \displaystyle y=3+\sqrt{9-x^{2}} (ramo superior do círculo de centro (0,3) e raio 3).
  • x varia de 0 até \sqrt{\tfrac{35}{4}}.
  • Em x=\sqrt{\tfrac{35}{4}} as duas curvas se intersectam (isso vem do fato de que o limite superior e inferior coincidem nesse x). A região está no semiplano x\ge0 e com y\ge0.

Passo 2

Vou achar os pontos de interseção das curvas para entender a fronteira da região. Igualo a parábola e a equação do círculo (a forma completa do círculo é (y-3)^{2}+x^{2}=9).
Substituindo y=\dfrac{2}{5}x^{2} em (y-3)^{2}+x^{2}=9:
\Big(\frac{2}{5}x^{2}-3\Big)^{2}+x^{2}=9.
Expando:
\frac{4}{25}x^{4}-\frac{12}{5}x^{2}+9 + x^{2}=9.
Os 9 se cancelam, restando
\frac{4}{25}x^{4}-\frac{7}{5}x^{2}=0.
Fatorando x^{2}:
x^{2}\Big(\frac{4}{25}x^{2}-\frac{7}{5}\Big)=0.
Portanto x=0 ou
x^{2}=\frac{7}{5}\cdot\frac{25}{4}=\frac{175}{20}=\frac{35}{4}.
Assim os valores de interseção (com x\ge0) são x=0 e x=\sqrt{\tfrac{35}{4}}. Para x=\sqrt{\tfrac{35}{4}} o valor de y na parábola é
y=\frac{2}{5}\,x^{2}=\frac{2}{5}\cdot\frac{35}{4}=\frac{70}{20}=\frac{7}{2}.
Observação: em x=0 a parábola dá y=0 e o círculo tem dois pontos y=0 (ramo inferior) e y=6 (ramo superior). A integral usa o ramo superior y=3+\sqrt{9-x^{2}}, então a união vertical da região vai de y=0 até y=6, mas para inverter a ordem é preciso dividir em dois blocos porque, para certos y, o limite em x vem da parábola e para outros vem do círculo.

Passo 3

Agora vou achar, para um y fixo, qual é o intervalo em x que pertence à região. As condições que definem a região são:
\frac{2}{5}x^{2}\le y \le 3+\sqrt{9-x^{2}}.
A primeira desigualdade dá x^{2}\le \dfrac{5}{2}y, isto é
x\le \sqrt{\frac{5}{2}y}.
A segunda (porque o ponto deve ficar abaixo do ramo superior do círculo) é equivalente à condição interior do círculo, que pode ser escrita como
x^{2}+(y-3)^{2}\le 9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 9-(y-3)^{2},
ou seja
x\le \sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}.
Para que um dado y pertença à projeção vertical da região precisamos de x que satisfaça simultaneamente as duas desigualdades; portanto
0\le x \le \sqrt{\min\!\Big(\frac{5}{2}y,\; 9-(y-3)^{2}\Big)}.
A mudança de expressão (qual dos dois é o menor) ocorre quando
\frac{5}{2}y=9-(y-3)^{2}.
Faço as contas para encontrar o valor crítico de y. Expandindo:
\frac{5}{2}y =9-(y^{2}-6y+9)= -y^{2}+6y.
Reorganizando:
y^{2}-\frac{17}{2}y=0 \quad\Longrightarrow\quad y\Big(y-\frac{7}{2}\Big)=0.
Assim os valores críticos são y=0 e y=\tfrac{7}{2}. Como sabemos da geometria, para 0\le y\le\tfrac{7}{2} vale \dfrac{5}{2}y\le 9-(y-3)^{2}, e para \tfrac{7}{2}\le y\le 6 vale 9-(y-3)^{2}\le \dfrac{5}{2}y. Portanto ao inverter a ordem devemos dividir em dois blocos:
  • Para y\in[0,\tfrac{7}{2}]: x\in[0,\sqrt{\tfrac{5}{2}y}].
  • Para y\in[\tfrac{7}{2},6]: x\in[0,\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}].

Passo 4

Escrevo então a integral invertida em coordenadas cartesianas como soma de duas integrais (apenas para contextualizar; o que importa para as caixas pedidas são os limites já identificados):
I=\int_{y=0}^{7/2}\int_{x=0}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}y}} x\,y\,dx\,dy +\int_{y=7/2}^{6}\int_{x=0}^{\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}} x\,y\,dx\,dy.
Isso corresponde exatamente aos limitantes pedidos no item (a).

Passo 5

Agora passo para coordenadas polares. Levo as curvas para polares usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • O círculo (a condição interior) (y-3)^{2}+x^{2}\le9 em polares: r^{2}-6r\sin\theta\le0, o que para r\ge0
0\le r \le 6\sin\theta.
  • A parábola y=\dfrac{2}{5}x^{2} em polares: r\sin\theta=\dfrac{2}{5}r^{2}\cos^{2}\theta. Para r>0 isso dá
r=\frac{5}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{5}{2}\,\sin\theta\,\operatorname{sec}^{2}\theta.
Portanto, em polares, a condição inferior y\ge \dfrac{2}{5}x^{2} vira r\le r_{\text{par}}(\theta) com r_{\text{par}}(\theta)=\dfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}, e a condição superior vira r\le r_{\text{circ}}(\theta)=6\sin\theta. Assim, como antes, o raio máximo em cada direção \theta é o mínimo entre essas duas curvas.

Passo 6

Preciso achar o ângulo onde as duas curvas se cruzam em polares, i.e. solução de
\frac{5}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=6\sin\theta.
Se \sin\theta=0 temos \theta=0 (que é uma fronteira), caso contrário posso dividir por \sin\theta e obter
\frac{5}{2\cos^{2}\theta}=6 \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}\theta=\frac{5}{12}.
Como a região está no primeiro quadrante ( x\ge0,y\ge0), tomo a raiz positiva:
\theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\big(\sqrt{5/12}\,\big).
(Equivalente: \theta_{0}=\arctan\!\big(\sqrt{7/5}\,\big), pois \tan^{2}\theta=\dfrac{1-\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{7}{5}.)
Para 0\le\theta\le\theta_{0} vale r_{\text{par}}(\theta)\le r_{\text{circ}}(\theta), então r\in[0,r_{\text{par}}(\theta)].
Para \theta_{0}\le\theta\le \tfrac{\pi}{2} vale r_{\text{circ}}(\theta)\le r_{\text{par}}(\theta), então r\in[0,6\sin\theta].

Passo 7

Transformo o integrando: x\,y\,dy\,dx em polares. Lembrando que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dy\,dx = r\,dr\,d\theta, tenho
x\,y\,dy\,dx=(r\cos\theta)(r\sin\theta)(r\,dr\,d\theta)=r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Portanto a integral em polares fica como soma de duas integrais com os limites que identifiquei:
  • primeira: \theta\in[0,\theta_{0}],\; r\in[0,\tfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}];
  • segunda: \theta\in[\theta_{0},\tfrac{\pi}{2}],\; r\in[0,6\sin\theta];
    com \theta_{0}=\operatorname{arccos}(\sqrt{5/12}) e integrando r^{3}\cos\theta\sin\theta.

Resposta

a-i) y\in\big[0,\tfrac{7}{2}\big]
a-ii) x\in\big[0,\sqrt{\tfrac{5}{2}y}\,\big]
a-iii) y\in\big[\tfrac{7}{2},6\big]
a-iv) x\in\big[0,\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}\,\big]
b-i) \theta\in\big[0,\operatorname{arccos}(\sqrt{5/12})\big]
b-ii) r\in\big[0,\dfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\big]
b-iii) \theta\in\big[\operatorname{arccos}(\sqrt{5/12}),\tfrac{\pi}{2}\big]
b-iv) r\in\big[0,6\sin\theta\big]
Transformação do integrando: x y\,dy\,dx = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

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