Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b].
Compare os resultados:
Compare os resultados:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
pelas regras dos Trapézios e de Simpson, com
e
subintervalos. O conteúdo aqui é Integração Numérica (regras de Newton–Cotes) e vamos precisar definir a função
, particionar o intervalo
e aplicar as fórmulas das duas regras.
Passo 2
Primeiro, definimos
, o intervalo
e o passo
. Para
temos
; para
temos
. Nos dois casos calculamos os pontos
e
.
Passo 3
Aplicando a regra dos Trapézios com
:
Com
,
,
,
,
,
obtemos numericamente
obtemos numericamente
Passo 4
Aplicando a regra dos Trapézios com
:
onde
. Calculando cada
e somando,
Passo 5
Aplicando a regra de Simpson com
(que exige
par):
Substituindo os
de antes,
Passo 6
Aplicando a regra de Simpson com
:
Com os
e calculando,
Passo 7
O valor exato da integral é
Comparando, vemos que Simpson (tanto
quanto
) aproxima muito melhor que Trapézios, e o erro diminui quando aumentamos
.
Resposta
Valores aproximados:
Trapézios (n=4): 4.69468
Trapézios (n=6): 4.68326
Simpson (n=4): 4.67034
Simpson (n=6): 4.67272
Valor exato: e²–e ≈ 4.67078
Trapézios (n=4): 4.69468
Trapézios (n=6): 4.68326
Simpson (n=4): 4.67034
Simpson (n=6): 4.67272
Valor exato: e²–e ≈ 4.67078
A regra de Simpson converge mais rápido e já com n=4 fornece erro ≪ 1×10⁻³, enquanto Trapézios ainda tem erro ≃ 10⁻².