Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b].
Compare os resultados:
integral1^2 e^x dx

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral1^2e^x,dx pelas regras dos Trapézios e de Simpson, com n=4 e n=6 subintervalos. O conteúdo aqui é Integração Numérica (regras de Newton–Cotes) e vamos precisar definir a função f(x)=e^x, particionar o intervalo [1,2] e aplicar as fórmulas das duas regras.

Passo 2

Primeiro, definimos f(x)=e^x, o intervalo [a,b]=[1,2] e o passo h=(b-a)/n. Para n=4 temos h4=0.25; para n=6 temos h6approx0.166667. Nos dois casos calculamos os pontos xi=a+i,h e fi=f(xi).

Passo 3

Aplicando a regra dos Trapézios com n=4:
T4=h42l(f0+2sumi=1^3fi+f4r)
Com
f0=e^1, f1=e^1.25, f2=e^1.5, f3=e^1.75, f4=e^2,
obtemos numericamente
T4=0.125l(2.71828+2(3.49034+4.48169+5.75300)+7.38906r)approx4.69468

Passo 4

Aplicando a regra dos Trapézios com n=6:
T6=h62l(f0+2sumi=1^5fi+f6r)
onde fi=e^1+i/6. Calculando cada fi e somando,
T6approx0.0833333l(2.71828+2(3.21220+3.79500+4.48169+5.29800+6.25900)+7.38906r)approx4.68326

Passo 5

Aplicando a regra de Simpson com n=4 (que exige n par):
S4=h43l(f0+4(f1+f3)+2f2+f4r)
Substituindo os fi de antes,
S4=0.0833333l(2.71828+4(3.49034+5.75300)+2cdot4.48169+7.38906r)approx4.67034

Passo 6

Aplicando a regra de Simpson com n=6:
S6=h63l(f0+4(f1+f3+f5)+2(f2+f4)+f6r)
Com os fi=e^1+i/6 e calculando,
S6approx0.0555556l(2.71828+4(3.21220+4.48169+6.25900)+2(3.79500+5.29800)+7.38906r)approx4.67272

Passo 7

O valor exato da integral é
integral1^2e^x,dx=e^2-eapprox7.38906-2.71828=4.67078
Comparando, vemos que Simpson (tanto n=4 quanto n=6) aproxima muito melhor que Trapézios, e o erro diminui quando aumentamos n.

Resposta

Valores aproximados:
Trapézios (n=4): 4.69468
Trapézios (n=6): 4.68326
Simpson (n=4): 4.67034
Simpson (n=6): 4.67272
Valor exato: e²–e ≈ 4.67078
A regra de Simpson converge mais rápido e já com n=4 fornece erro ≪ 1×10⁻³, enquanto Trapézios ainda tem erro ≃ 10⁻².

Exercícios relacionados