Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo : sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente precisa achar a derivada da função $ f(x, y) = x^{3} y^{4} + x^{4} y^{3} $ no ponto na direção indicada pelo ângulo . Pra isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção correspondente ao ângulo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas que encontramos:
y = 1
Então, o gradiente no ponto partial fpartial x g|(1,1) = 3(1)^2 (1)^4 + 4(1)^3 (1)^3 = 3 + 4 = 7 é: