Determine a derivada direcional de f(x, y) no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta :
f(x, y)=x^3 y^4+x^4 y^3 sendo (1,1), theta=pi / 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente precisa achar a derivada da função $ f(x, y) = x^{3} y^{4} + x^{4} y^{3} $ no ponto f(x, y) = x^3 y^4 + x^4 y^3 na direção indicada pelo ângulo (1,1). Pra isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção correspondente ao ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)
Vamos calcular cada derivada parcial:
f
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1). Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas que encontramos:
x = 1
y = 1
Então, o gradiente no ponto partial fpartial x g|(1,1) = 3(1)^2 (1)^4 + 4(1)^3 (1)^3 = 3 + 4 = 7 é:
partial fpartial y g|(1,1) = 4(1)^3 (1)^3 + 3(1)^4 (1)^2 = 4 + 3 = 7

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor direção correspondente ao ângulo theta = pi/6. Um vetor direção pode ser representado como:
u = (costheta, sintheta)
Substituindo theta = pi/6:
u = ( cos(pi6), sin(pi6) ) = ( raiz32, 12 )

Passo 5

Por fim, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:
Du f
Calculando o produto escalar:
Du f = nabla f(1,1) cdot u = (7, 7) cdot ( raiz32, 12 )

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção do ângulo (1,1) é $ \frac{7(\sqrt{3} + 1)}{2} $.

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