Use Property 11 to estimate the value of the integral.
integral duplaQ e^-(x^2+y^2)^2 d A, Q is the quarter-circle with center the origin and radius 12 in the first quadrant

Passo 1

A questão pede para estimar I=integral duplaQ e^-(x^2+y^2)^2,dA, onde Q é o quarto de círculo no primeiro quadrante, raio tfrac12. O conteúdo é estimativa de integrais duplas usando a propriedade que diz: se m<= f(x,y)<= M em D, então m,Area(D)<=integral duplaD f<= M,Area(D).

Passo 2

No domínio Q, na coordenada polar temos rin[0,tfrac12]. Como f(r,theta)=e^-r^4 é decrescente em r, o valor máximo ocorre em r=0 e o mínimo em r=tfrac12. Assim:
maxQ f= e^-(0)^4=1,
minQ f= e^-l(tfrac12r)^4=e^-1/16

Passo 3

A área de Q é um quarto da área do círculo de raio tfrac12:
Area(Q)=tfrac14pil(tfrac12r)^2=pi16

Passo 4

Aplicando a propriedade 11, obtemos:
e^-1/16cdotpi16<= I<=1cdotpi16

Resposta

e^-1/16,pi16<=integral duplaQ e^-(x^2+y^2)^2,dA<=pi16

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