Resolva as equaçōes lineares
y^prime+2 x y=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que é $ y’ + 2xy = x^3 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução. Para isso, precisamos identificar os coeficientes e aplicar a técnica correta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos:
P(x) = 2x
Q(x) = x^3
Isso nos ajuda a identificar como aplicar o fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Então, vamos calcular:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x)
A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $:
e^x^2 y' + 2x e^x^2 y = x^3 e^x^2

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral à esquerda simplifica para:
integral ddx ( e^x^2 y ) dx = integral x^3 e^x^2 , dx
Para resolver a integral à direita, podemos usar substituição. Seja $ u = x^2 $, então $ du = 2x , dx $, mas precisamos ajustar para $ x^3 $. Vamos reescrever:
e^x^2 y = integral x^3 e^x^2 , dx
Integrando, obtemos:
u = x^2
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original para $ y $:
y
Dividindo ambos os lados por $ e{x2} $:
e^x^2 y = 12 x^2 e^x^2 - 12 e^x^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 12 x^2 - 12 + C e^-x^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados