Resolva as equaçōes lineares
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que é $ y’ + 2xy = x^3 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução. Para isso, precisamos identificar os coeficientes e aplicar a técnica correta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Isso nos ajuda a identificar como aplicar o fator integrante.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Então, vamos calcular:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
A integral à esquerda simplifica para:
Para resolver a integral à direita, podemos usar substituição. Seja $ u = x^2 $, então $ du = 2x , dx $, mas precisamos ajustar para $ x^3 $. Vamos reescrever:
Integrando, obtemos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à expressão original para $ y $:
Dividindo ambos os lados por $ e{x2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.