Calcule as integrais a seguir usando substituições trigonométricas:
integral x^2raiz9-4 x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2raiz9-4x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Aqui temos um radical da forma raiza^2-b^2x^2 com a=3 e b=2, então a estratégia será usar
x = 32sintheta,
pois assim raiz9-4x^2 se tornará uma função simples de theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 32sintheta, dx = 32costheta,dtheta,
temos
raiz9-4x^2 = raiz9 - 4l(tfrac32sinthetar)^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta
Também
x^2 = l(tfrac32sinthetar)^2 = 94sin^2theta
Substituindo na integral original,
integral x^2raiz9-4x^2,dx = integral tfrac94sin^2theta3costheta cdot 32costheta,dtheta = integral 98sin^2theta,dtheta

Passo 3

Agora usamos a identidade trigonométrica
sin^2theta = 1-cos(2theta)2
para reescrever a integral:
integral 98sin^2theta,dtheta = 98integral 1-cos(2theta)2,dtheta = 916integral l(1-cos(2theta)r),dtheta
Integramos em theta:
916l[theta - tfrac12sin(2theta)r] + C

Passo 4

Falta voltar para a variável x. Como x=tfrac32sintheta, temos
sintheta = 2x3, theta = arcsin!l(2x3r)
Além disso,
sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 22x3,raiz9-4x^23 = 4xraiz9-4x^29
Substituindo em
916l[theta - tfrac12sin(2theta)r], obtemos
916arcsin!l(2x3r) - 916cdot12cdot4xraiz9-4x^29 + C = 916arcsin!l(2x3r) - xraiz9-4x^28 + C

Resposta

integral x^2raiz9-4x^2,dx = 916arcsin!l(2x3r) - xraiz9-4x^28 + C

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