Determine o diâmetro de
em relação às seguintes métricas:
, para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado define em
a métrica
e pede o diâmetro do espaço métrico
. Em teoria de espaços métricos, o diâmetro de um conjunto
é
Vamos aplicar essa definição para
.
Passo 2
Para quaisquer
temos sempre
, pois o valor de
não ultrapassa
. Logo,
é uma cota superior para o conjunto
.
Passo 3
Basta agora ver que essa cota é realmente alcançada em termos de supremo: se escolhermos, por exemplo,
e
com
, então
para
e
Logo
Resposta
O diâmetro de
em relação a
é
.