Determine o diâmetro de \mathbb{R} em relação às seguintes métricas:
\alpha(x, y)=\min \{1,|x-y|\}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a métrica
\alpha(x,y)=\min\{1,\;|x-y|\},
e pede o diâmetro do espaço métrico (\mathbb{R},\alpha). Em teoria de espaços métricos, o diâmetro de um conjunto A é
\mathrm{diam}(A)=\sup\bigl\{\alpha(x,y)\mid x,y\in A\bigr\}.
Vamos aplicar essa definição para A=\mathbb{R}.

Passo 2

Para quaisquer x,y\in\mathbb{R} temos sempre \alpha(x,y)\le1, pois o valor de \min\{1,|x-y|\} não ultrapassa 1. Logo, 1 é uma cota superior para o conjunto \{\alpha(x,y)\}.

Passo 3

Basta agora ver que essa cota é realmente alcançada em termos de supremo: se escolhermos, por exemplo, x_n=0 e y_n=n com n\to\infty, então |x_n-y_n|=n>1 para n\ge1 e
\alpha(x_n,y_n)=\min\{1,n\}=1.
Logo
\sup_{x,y\in\mathbb{R}}\alpha(x,y)=1.

Resposta

O diâmetro de \mathbb{R} em relação a \alpha é 1.

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