Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão usando potências:
. Então
Dividindo potências com a mesma base soma/subtrai-se os expoentes, portanto
Assim a integranda fica
Passo 3
Lembrete da regra básica de integração (regra da potência):
onde
é um número real e
é a constante de integração. Aqui cada termo da integranda é uma potência de
com
e
, que são permitidos pela regra.
Passo 4
Integramos o primeiro termo
. Usando a linearidade da integral (constante pode sair da integral) e a regra da potência:
Calcule o expoente e o denominador:
Portanto
Passo 5
Agora integramos o segundo termo
:
Calcule o expoente e o denominador:
Portanto
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos e juntando as constantes
e
numa única constante
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação): derivando a resposta deve voltar à integranda.
Derivando :
Derivando
Confere, então a primitiva está correta.
Passo 8
Alternativa por substituição (opcional, mostra técnica): fazer
. Então
e
. Substituindo na integral original:
Integrando:
que dá o mesmo resultado.