Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{5 x-3}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5 x-3}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{5x-3}{\sqrt{x}}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando potências: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
\frac{5x-3}{\sqrt{x}}=\frac{5x}{x^{1/2}}-\frac{3}{x^{1/2}}.
Dividindo potências com a mesma base soma/subtrai-se os expoentes, portanto
\frac{5x}{x^{1/2}}=5x^{1-\tfrac{1}{2}}=5x^{1/2}, \qquad \frac{3}{x^{1/2}}=3x^{-1/2}.
Assim a integranda fica
\frac{5x-3}{\sqrt{x}}=5x^{1/2}-3x^{-1/2}.

Passo 3

Lembrete da regra básica de integração (regra da potência):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde n é um número real e C é a constante de integração. Aqui cada termo da integranda é uma potência de x com n=1/2 e n=-1/2, que são permitidos pela regra.

Passo 4

Integramos o primeiro termo 5x^{1/2}. Usando a linearidade da integral (constante pode sair da integral) e a regra da potência:
\int 5x^{1/2}\,dx = 5\int x^{1/2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C_1.
Calcule o expoente e o denominador:
1/2+1=\tfrac{3}{2}, \qquad \frac{1}{1/2+1}=\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}.
Portanto
\int 5x^{1/2}\,dx = 5\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{10}{3}x^{3/2}+C_1.

Passo 5

Agora integramos o segundo termo -3x^{-1/2}:
\int -3x^{-1/2}\,dx = -3\int x^{-1/2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C_2.
Calcule o expoente e o denominador:
-1/2+1=\tfrac{1}{2}, \qquad \frac{1}{-1/2+1}=\frac{1}{1/2}=2.
Portanto
\int -3x^{-1/2}\,dx = -3\cdot 2\,x^{1/2}=-6x^{1/2}+C_2.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos
\int \frac{5x-3}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{10}{3}x^{3/2}-6x^{1/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação): derivando a resposta deve voltar à integranda.
Derivando \dfrac{10}{3}x^{3/2}-6x^{1/2}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{10}{3}x^{3/2}-6x^{1/2}\right) =\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} =5x^{1/2}-3x^{-1/2} =\frac{5x-3}{\sqrt{x}}.
Confere, então a primitiva está correta.

Passo 8

Alternativa por substituição (opcional, mostra técnica): fazer \,u=\sqrt{x}=x^{1/2}. Então x=u^2 e dx=2u\,du. Substituindo na integral original:
\int \frac{5x-3}{\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{5u^2-3}{u}\cdot 2u\,du = \int (10u^2-6)\,du.
Integrando:
\int (10u^2-6)\,du = \frac{10}{3}u^3-6u + C = \frac{10}{3}x^{3/2}-6x^{1/2}+C,
que dá o mesmo resultado.

Resposta

\frac{10}{3}x^{3/2}-6x^{1/2}+C

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