Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{4 d x}{4 x^{2}+20 x+34}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{4\,dx}{4x^{2}+20x+34}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \dfrac{4}{4x^{2}+20x+34}.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a expressão geral com constante de integração C).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão fatorando 4 no denominador, para deixar a integral mais manejável. Dividindo numerador e denominador por 4 obtemos:
\frac{4}{4x^{2}+20x+34}=\frac{1}{x^{2}+5x+8{,}5}.
Agora vamos completar o quadrado no polinômio x^{2}+5x+8{,}5. Para completar o quadrado em x^{2}+5x+\_, consideramos
\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=x^{2}+5x+\frac{25}{4}=x^{2}+5x+6{,}25.
Como precisamos de 8{,}5 (ou seja \frac{17}{2}=8{,}5), subtraímos a diferença:
x^{2}+5x+8{,}5=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}+8{,}5-6{,}25=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}.
Note que \dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}. Portanto o denominador original vale
4x^{2}+20x+34=4\left[\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right].
Substituindo de volta na integral inicial (ou simplesmente usar o passo de dividir por 4 feito antes), temos
\int \frac{4\,dx}{4x^{2}+20x+34}=\int \frac{dx}{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}.

Passo 3

Agora fazemos a substituição que centraliza o termo quadrático: seja
u=x+\frac{5}{2}.
Então
du=dx.
A integral em termos de u fica
\int \frac{du}{u^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}.
Explicação rápida do porquê: escolhemos u para que o denominador ficasse na forma u^{2}+a^{2}, que é uma forma padrão cuja primitiva conhecemos.

Passo 4

Aqui entra a fórmula padrão (que usamos como ferramenta): para a>0,
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Breve justificativa dessa fórmula: a derivada de \arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) é
\frac{d}{du}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{u}{a}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{a}{a^{2}+u^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}+u^{2}},
logo multiplicando por \dfrac{1}{a} obtemos exatamente \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 5

No nosso caso a=\dfrac{3}{2}. Aplicando a fórmula:
\int \frac{du}{u^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\frac{3}{2}}\right)+C=\frac{2}{3}\arctan\!\left(\frac{2u}{3}\right)+C.
Voltando à variável x com u=x+\dfrac{5}{2}, temos
\frac{2}{3}\arctan\!\left(\frac{2\left(x+\frac{5}{2}\right)}{3}\right)+C=\frac{2}{3}\arctan\!\left(\frac{2x+5}{3}\right)+C.

Passo 6

Como verificação (útil na prova): derivando a resposta achada devemos recuperar o integrando original. Diferenciando
\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{3}\arctan\!\left(\frac{2x+5}{3}\right)\right]=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{2x+5}{3}\right)^{2}}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{\frac{4x^{2}+20x+34}{9}}=\frac{4}{4x^{2}+20x+34},
que é exatamente o integrando. Beleza — está certo!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\arctan\!\left(\frac{2x+5}{3}\right)+C

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