Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{4 d x}{4 x^{2}+20 x+34}
\int \frac{4 d x}{4 x^{2}+20 x+34}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a expressão geral com constante de integração
).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão fatorando
no denominador, para deixar a integral mais manejável. Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
Agora vamos completar o quadrado no polinômio
. Para completar o quadrado em
, consideramos
Como precisamos de
(ou seja
), subtraímos a diferença:
Note que
. Portanto o denominador original vale
Substituindo de volta na integral inicial (ou simplesmente usar o passo de dividir por
feito antes), temos
Passo 3
Agora fazemos a substituição que centraliza o termo quadrático: seja
Então
A integral em termos de
fica
Explicação rápida do porquê: escolhemos
para que o denominador ficasse na forma
, que é uma forma padrão cuja primitiva conhecemos.
Passo 4
Aqui entra a fórmula padrão (que usamos como ferramenta): para
,
Breve justificativa dessa fórmula: a derivada de
é
logo multiplicando por
obtemos exatamente
.
Passo 5
No nosso caso
. Aplicando a fórmula:
Voltando à variável
com
, temos
Passo 6
Como verificação (útil na prova): derivando a resposta achada devemos recuperar o integrando original. Diferenciando
que é exatamente o integrando. Beleza — está certo!